Глава 4. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

Цель данной главы состоит в том, чтобы охарактеризовать нелинейные системы

являющиеся локально или глобально эквивалентными управляемым линейным системам. Иными словами, мы хотим найти условия на векторные поля обеспечивающие существование диффеоморфизма (глобального Ф: или локального переводящего нелинейную систему (4.1) в некоторую управляемую линейную систему (3.1).

4.1. Локальная линеаризуемость

Начнем с локальной задачи. Условия локальной линеаризуемости естественно формулировать в терминах скобок Ли, так как они сохраняются при диффеоморфизмах:

Условие управляемости (3.10) легко записывается в терминах скобок Ли: для векторных полей (3.3) имеем

поэтому критерий управляемости для линейных систем (3.10) имеет вид

Далее, очевидно, что для линейных векторных полей (3.3) выполняется следующее условие:

Оказывается, что указанные два условия локально характеризуют управляемые линейные системы.

Теорема 4.1. Пусть гладкое n-мерное многообразие, Диффеоморфизм

некоторой окрестности точки в некоторую окрестность начала координат такой, что

для некоторых -матрицы А и векторов удовлетворяющих условию управляемости (3.10), существует тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Замечание. Иными словами, диффеоморфизм в формулировке теоремы переводит нелинейную систему (4.1) в линейную (3.1).

Прежде чем доказывать теорему, рассмотрим следующее предложение, которое понадобится нам ниже.

Лемма 4.1. Пусть гладкое n-мерное многообразие, и пусть Диффеоморфизм

окрестности в окрестность такой, что

существует тогда и только тогда, когда векторные поля коммутируют:

линейно независимы:

Доказательство. Необходимость очевидна, так как скобка Ли и линейная независимость сохраняются при диффеоморфизмах.

Достаточность. Выберем поля дополняющие до базиса:

Отображение

определено в достаточно малой окрестности начала координат в Имеем

Поэтому дифференциал сюрьективен, и по теореме о неявной функции диффеоморфизм из некоторой окрестности точки в на некоторую окрестность точки до в

Теперь докажем, что выпрямляет векторные поля Во-первых, заметим, что так как эти поля коммутируют, то коммутируют и их потоки, поэтому

и

Тогда для к

Теперь мы можем доказать теорему 4.1 о локальной эквивалентности нелинейных систем линейным.

Доказательство. Необходимость очевидна, так как скобки Ли инвариантны относительно диффеоморфизмов, а для управляемых линейных систем условия (4.2), (4.3) выполняются.

Достаточность. Выберем базис пространства из векторов вида

По лемме 4.1 существует выпрямляющий диффеоморфизм:

Покажем, что диффеоморфизм искомый.

(1) Проверим сначала, что векторные поля постоянны, т. е. покажем, что в разложении

функции постоянны. Имеем

С другой стороны,

по условию (4.3). Сравнивая (4.4) и (4.5), получаем

т. е. суть постоянные векторные поля, которые мы и обозначим через

(2) Теперь покажем, что векторное поле линейно. Докажем, что в разложении

все функции линейны. Действительно,

по условию (4.3). Поэтому

т. е. линейное векторное поле, которое мы обозначим

Для линейной системы из предположения (4.2) следует условие управляемости (3.10). Теорема доказана.