21.3. Необходимые условия оптимальности

Предложение 21.2. Пусть экстремальная пара коранга один. Предположим, что регулярная или хорошая особая экстремаль. Пусть Тогда:

(1) либо для любого непостоянного решения уравнения Якоби (21.13) или (21.26), удовлетворяющего граничным условиям (21.12) или (21.25), продолжение

удовлетворяет уравнению Якоби на

(2) либо управление и не является локально геометрически оптимальным на

Доказательство. Предположим, что условие (1) не выполняется, и докажем, что тогда справедливо условие (2). Возьмем любое ненулевое и пусть есть соответствующее непостоянное решение уравнения Якоби с граничными условиями. Рассмотрим продолжение нулем:

и соответствующее продолжение константой как в (21.28). Так как не удовлетворяет уравнению Якоби на имеем Заметим, что С другой стороны, существует такое что Тогда квадратичная форма принимает значения обоих знаков в плоскости

В особом случае расширенная форма знакопеременна, поэтому знакопеременна и исходная форма.

Итак, форма меняет знак на По теореме 20.1 управление неоптимально на

Заметим, что случай (1) предложения 21.2 дает сильные ограничения на экстремаль Если этот случай реализуется, то множество сопряженных точек совпадает с отрезком

Предположим, что изучаемое управление аналитично; тогда решения уравнения Якоби также аналитичны. Если постоянно на некотором отрезке, то оно постоянно на всей своей области определения. Поэтому в аналитическом случае альтернатива (1) предложения 21.2 невозможна, и первое сопряженное время дает необходимое условие оптимальности: траектория не может быть локально геометрически оптимальной после

Отсутствие сопряженных точек влечет конечномерную локальную оптимальность в случае коранга один (см. теорему 20.1). В следующих двух параграфах мы докажем гораздо более сильный результат для регулярного случая: отсутствие сопряженных точек достаточно для сильной оптимальности.