23.2. Кривизна трехмерных аффинных по управлению систем

В этом параграфе мы рассмотрим аффинные по управлению трехмерные системы:

Мы редуцируем такую систему к двумерной, как в гл. 22, и вычислим кривизну полученной двумерной системы — инвариант системы (23.19) по обратной связи.

Мы предполагаем, что выполнены следующие условия регулярности на М:

Любая экстремаль аффинной по управлению системы (23.19) вполне особая, она удовлетворяет равенству

и соответствующее экстремальное управление нельзя найти непосредственно из этого равенства. Дифференцирование (23.22) по дает

Еще одно дифференцирование приводит к равенству, содержащему управление:

Тогда особое управление определяется однозначно:

Применим к системе (23.19) преобразование обратной связи:

Это преобразование влияет на поле но сохраняет условия регулярности (23.20), (23.21). После этого преобразования особое управление равно

Тогда имеет место импликация

Поэтому будем считать далее, что

В трубчатой окрестности траектории поля рассмотрим редукцию трехмерной системы (23.19)

для достаточно малого

Эта система имеет те же сопряженные точки, что и исходная система (23.19). Если система (23.24) не имеет сопряженных точек, то соответствующая особая траектория системы (23.19) геометрически сильно оптимальна, т. е. локально приходит на границу множества достижимости.

Опишем кокасательное расслоение фактора Касательное пространство к состоит из касательных векторов к по модулю Д:

отождествление (23.25) задается отображением

Поэтому кокасательное пространство к состоит из ковекторов на ортогональных Д:

Учитывая, что поле есть проекция гамильтонова поля легко видеть, что

где отображение определено выше (упражнение: покажите, что Итак, кокасательное расслоение фактора получается из с помощью гамильтоновой редукции по т. е. с помощью ограничения на поверхность уровня гамильтониана с последующей факторизацией по действию потока

Далее, из условия регулярности (23.21) следует, что поле трансверсально поверхности уровня и эта поверхность

уровня дает еще одну реализацию кокасательного расслоения фактора:

В этой реализации есть гамильтоново поле, соответствующее максимизированному гамильтониану — генератору экстремалей ( в параграфе 23.1). Поверхность уровня максимизированного гамильтониана в параграфе 23.1) реализуется как подмногообразие

С помощью канонической проекции это подмногообразие можно отождествить с поэтому поверхность уровня из параграфа 23.1 реализуется сейчас как Мы используем эту реализацию, чтобы вычислить кривизну трехмерной системы (23.19) как кривизну к ее двумерной редукции (23.24).

Гамильтоново поле из параграфа 23.1 теперь равно есть вертикальное поле. Остается нормировать т.е. найти такое вертикальное поле что

(см. (23.6)). Тройка

образует подвижный репер на Рассмотрим структурные константы этого репера:

Заметим, что включение (23.23), полученное после предварительного преобразования обратной связи, теперь записывается как Поэтому

Теперь можно найти такой нормирующий фактор а для чтобы выполнялось равенство (23.26). Получаем

Теперь искомая функция а находится из первого уравнения в частных производных

и можно вычислить кривизну:

Итак, кривизна аффинной по управлению трехмерной системы (23.19) выражается через структурные константы как функция на пространстве состояний М:

Оценки кривизны к вдоль (необходимо особой) экстремали трехмерной аффинной по управлению системы позволяют получать оценки сопряженного времени, а потому и отрезков, на которых экстремаль локально оптимальна. Действительно, по построению к есть кривизна редуцированной двумерной системы. Как известно из гл. 22, редукция переводит особые экстремали в регулярные, а исходная и редуцированная системы имеют одно и то же сопряженное время. Поэтому посредством редукции можно применить теорему 23.3 к исследованию оптимальности особых экстремалей трехмерных аффинных по управлению систем.