Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

В этой главе мы рассмотрим простейший класс управляемых систем — линейные системы

где А — постоянная вещественная матрица порядка постоянные векторы в

3.1. Формула Коши для линейных систем

Пусть локально интегрируемые функции. Тогда решение системы (3.1), соответствующее этому управлению и удовлетворяющее начальному условию

дается формулой Коши

Мы используем здесь обозначение для матричной экспоненты

Формула Коши проверяется дифференцированием. В силу единственности она дает решение задачи Коши.

Линейная система (3.1) — частный случай аффинной по управлению системы:

Чтобы получить систему (3.1) из (3.2), достаточно положить

Предложение 3.1. Формула Коши для линейных систем следует из формулы вариаций.

Доказательство. Приведем доказательство только в случае

Формула вариаций для системы (3.2) имеет вид

Мы предполагаем, что т. е. Тогда

Далее, так как то

Чтобы вычислить левый поток в (3.4), напомним, что кривая

есть решение задачи Коши

поэтому (3.6) равно

Учитывая (3.5), получаем формулу Коши:

Заметим, что в общем случае формулу Коши можно записать в виде

где