9.3. Линеаризуемость по состоянию и обратной связи

Рассмотрим аффинную по управлениям нелинейную систему к

Для нелинейных систем естественно задать локальный вопрос: при каких условиях система (9.35) локально эквивалентна по состоянию и обратной связи управляемой линейной системе?

Определение 9.2. Система (9.35) называется локально эквивалентной по состоянию и обратной связи линейной системе (9.20) в окрестности точки если существуют преобразование состояния — диффеоморфизм

из окрестности точки в на открытое подмножество и преобразование обратной связи

с обратимой и гладко зависящей от матрицей

такие, что преобразование состояния и обратной связи переводит систему (9.35), ограниченную на в линейную систему (9.20), ограниченную на О.

Конструкция подпространств выдерживает обобщение на случай нелинейных систем (9.35): достаточно рассмотреть семейства подпространств

Заметим, что, вообще говоря, поэтому семейство может не быть распределением.

Отметим, что в случае управляемой линейной системы (9.20) семейство обладает следующими свойствами:

3) распределения интегрируемы (так как они порождаются постоянными векторными полями

Перед тем как сформулировать условия линеаризуемости нелинейных систем по состоянию и обратной связи в терминах семейств докажем следующие свойства этих семейств.

Лемма 9.1. Если семейства инволютивны, то они инвариантны относительно преобразований обратной связи.

Доказательство. Отметим сначала, что преобразования обратной связи (9.36) можно представить как композицию преобразований двух типов:

где обратимы и гладко зависят от А теперь докажем лемму индукцией по Пусть Очевидно, что семейство

сохраняется обоими типами преобразований (9.37) и (9.38).

Шаг индукции: предположим, что утверждение доказано для и докажем его для Семейство

сохраняется преобразованиями (9.38). Рассмотрим преобразование вида (9.37). Имеем

Далее,

поэтому

Итак, семейство сохраняется преобразованиями обратной связи вида (9.37).

Теорема 9.2. Система (9.35) локально эквивалентна по состоянию и обратной связи управляемой линейной системе (9.20) тогда и только тогда, когда:

1) не зависит от т. е. семейства распределения;

3) распределения инволютивны.

Условия необходимы для локальной эквивалентности по состоянию и обратной связи, это следует из рассуждения перед леммой 9.1.

Мы докажем достаточность в теореме 9.3 ниже только в случае скалярного управления. Для получаем систему

и соответствующие семейства подпространств

Оказывается, что в этом случае из инволютивности следует инволютивность для меньших

Теорема 9.3. Система (9.39) локально эквивалентна по состоянию и обратной связи управляемой линейной системе (9.13) тогда и только тогда, когда:

2) распределение инволютивно.

Сначала докажем следующее предложение, имеющее самостоятельное общее значение: интегральные многообразия интегрируемых распределений допускают гладкую параметризацию.

Лемма 9.2. Пусть интегрируемое распределение на гладком n-мерном многообразии

Тогда для любой точки существуют окрестность гладкая вектор-функция такие, что:

2) есть интегральное многообразие А для любого или, что равносильно,

Доказательство. Дополним векторные поля до базиса:

в достаточно малой окрестности Рассмотрим отображение

Имеем

поэтому локальный диффеоморфизм в окрестности Далее, при фиксированном множество

есть интегральное многообразие А.

Наконец, по теореме о неявной функции локально определено гладкое отображение

Это и есть искомая вектор-функция. Докажем теорему 9.3.

Доказательство. Необходимость уже показана а рассуждении перед леммой 9.1: для управляемых линейных систем выполняются оба условия 1), 2).

Чтобы доказать достаточность, построим координаты, в которых наша система (9.39) принимает простую форму, а затем применим преобразование обратной связи, приводящее эту систему к нормальной форме (9.11).

В силу интегрируемости распределения из леммы 9.2 следует существование гладкой функции

такой, что

Определим следующие функции в окрестности

(повторные производные по направлению векторного поля

Мы утверждаем, что функции (которые и будут координатами, в которых система (9.39) упрощается) удовлетворяют

равенствам

Во-первых, заметим, что Действительно, имеем

поэтому равенство несовместно со свойствами (9.40).

Теперь докажем (9.41) индукцией по . В случае доказывать нечего.

Предположим, что равенство (9.41) доказано для и докажем его для Имеем

Если то по предположению индукции. Поэтому

и равенство (9.41) для следует из этого же равенства для

Итак, равенство (9.41) доказано для всех Так как векторы порождают касательное пространство при отображение

есть локальный диффеоморфизм: дифференциалы образуют базис в двойственный к

Возьмем в качестве координатного отображения, тогда точка имеет координаты

Запишем нашу систему в этих координатах, для этого продифференцируем в силу этой системы.

Если то в силу равенства (9.41), поэтому

Если

Итак, в координатах наша система (9.39) записывается в виде

Теперь рассмотрим преобразование обратной связи

После этого преобразования компонента нашей системы превращается в уравнение

т.е. вся система имеет форму (9.11).