5.5. Аналитический случай

Множество не просто алгебра Ли (т. е. линейное пространство, замкнутое относительно скобки Ли), но также и модуль над любое поле можно умножить на функцию и получить векторное поле Если рассматривать векторные поля как дифференцирования алгебры то произведение функции а и поля V есть поле

В локальных координатах любая компонента V в точке умножается на

Упражнение 5.1. Пусть Докажите равенства

Подмодуль называется конечно порожденным над если в нем существует конечный глобальный базис векторных полей:

Лемма 5.2. Пусть конечно порожденный подмодуль над Предположим, что для некоторого векторного поля

Тогда

Доказательство. Пусть поля образуют базис По условию леммы

для некоторых функций а Нужно доказать, что векторные поля

являются линейными комбинациями полей с коэффициентами из

Найдем дифференциальное уравнение для

Для фиксированного определим следующую матрицу порядка к:

Получаем линейную систему

Введем фундаментальную матрицу этой системы

Так как гладко зависит от матрица также гладко зависит от

Теперь решения линейной системы (5.9) можно записать в виде

Но поля порождающие модуля, т. е. мы получили искомое разложение полей по порождающим.

Подмодуль называется локально конечно порожденным над если для любой точки существует окрестность сужение на которую конечно порождено над т. е. имеет базис векторных полей.

Теорема 5.3. Пусть Предположим, что модуль локально конечно порожден над Тогда

для любой орбиты семейства

Мы докажем эту теорему ниже, а сейчас выведем из нее важное предложение.

Следствие 5.3. Если вещественно аналитичны, то справедливо равенство (5.10).

Доказательство. В аналитическом случае модуль локально конечно порожден. Действительно, любой модуль, порожденный аналитическими векторными полями, локально конечно порожден. Это — нётерово свойство кольца ростков аналитических функций; см. [142].

Теперь докажем теорему 5.3.

Доказательство. В силу теоремы об орбите

По определению алгебры

Применяя лемму 5.2 к локально конечно порожденному -модулю получаем

Следовательно,

для любых Ввиду равенства (5.11)

А обратное включение (5.7) уже было получено. Итак,

Другое доказательство этой теоремы можно получить, используя локальную сходимость экспоненциального ряда в аналитическом случае.