9.2. Линейные системы

Рассмотрим сначала линейные управляемые системы к

где А — матрица порядка векторы в Будем предполагать, что векторы линейно независимы:

этого всегда можно добиться исключением некоторых векторов Найдем нормальные формы линейных систем относительно преобразований состояния и обратной связи.

К линейным системам (9.5) применяем преобразования обратной связи, которые имеют вид (9.4) и, более того, сохраняют линейную структуру:

Обозначим через линейный оператор с матрицей в базисе Линейные преобразования обратной связи (9.4), (9.6) действуют на векторные поля в правой части линейной системы (9.5) следующим образом:

Это отображение должно быть обратимым, поэтому будем предполагать оператор обратимым.

Линейные преобразования состояния действуют на линейные системы следующим образом:

где обратимый линейный оператор. Эквивалентность линейных систем по состоянию означает, что эти системы имеют одинаковые координатные представления в подходящих базисах в пространстве состояний

9.2.1. Линейные системы со скалярным управлением.

Рассмотрим простую модельную линейную систему

где Перепишем эту систему в стандартной форме в переменных

Если взять — и в качестве нового управления, т. е. применить преобразование обратной связи (9.4), (9.6) с

то система (9.10) перейдет в систему

которая в скалярном виде записывается как

Итак, система (9.10) эквивалентна системе (9.11) по обратной связи.

Оказывается, что простые системы (9.10) и (9.11) являются соответственно нормальными формами управляемых линейных систем относительно преобразований состояния и преобразований состояния и обратной связи.

Предложение 9.1. Любая управляемая линейная система со скалярным управлением

эквивалентна состоянию системе (9.10), а потому эквивалентна по состоянию и обратной связи системе (9.11).

Доказательство. Отыщем базис в котором система (9.13) записывается в виде (9.10). Координаты точки в базисе находятся из разложения

Исходя из требуемого вида системы (9.10) получаем, что вектор должен иметь координаты ; поэтому базисный вектор с номером определен однозначно:

Найдем остальные базисные векторы Нашу линейную систему (9.13) можно переписать в виде

Тогда в координатах получаем

поэтому

Требуемые дифференциальные уравнения

выполняются в некотором базисе тогда и только тогда, когда справедливы равенства

для некоторых чисел

Остается показать, что можно подобрать базисные векторы удовлетворяющие равенствам (9.15), (9.16). Перепишем равенство (9.15) в виде

откуда последовательно получаем

Итак, из равенства (9.16) следует, что

Равенство

удовлетворяется на единственном наборе так как векторы образуют базис (на самом деле коэффициенты характеристического многочлена оператора А).

Векторы построенные по равенствам (9.18) с этими коэффициентами образуют искомый базис. Действительно, равенства (9.15), (9.16) выполняются по построению. Векторы линейно независимы по условию управляемости (9.14).

Замечание. Базис построенный в предыдущем доказательстве, единствен, поэтому преобразование состояния, приводящее управляемую линейную систему со скалярным управлением (9.13) в нормальную форму (9.10), также единственно.

9.2.2. Линейные системы с векторным управлением.

Теперь рассмотрим управляемые линейные системы с векторным управлением

Напомним, что векторы предполагаются линейно независимыми.

В случае все управляемые линейные системы в эквивалентны по состоянию и обратной связи нормальной форме (9.11),

поэтому при фиксированной размерности инвариантов по состоянию и обратной связи нет. В случае это не так, и мы начнем с описания инвариантов по состоянию и обратной связи.

1. Индексы Кронекера. Рассмотрим следующие подпространства в

Обратимые линейные преобразования состояния (9.8) сохраняют размерности этих подпространств, поэтому числа

являются инвариантами по состоянию.

Теперь покажем, что обратимые линейные преобразования обратной связи (9.7) сохраняют пространства Любое такое преобразование можно разложить на два преобразования обратной связи вида

Очевидно, что преобразования (9.24), т. е. замены сохраняют пространства Рассмотрим преобразования (9.23). Обозначим новую матрицу:

Имеем

Но следовательно, преобразования обратной связи (9.23) сохраняют пространства

Итак, пространства инвариантны относительно преобразований обратной связи, а их размерности — инварианты преобразований состояния и обратной связи.

Выразим числа через другие — так называемые индексы Кронекера. Построим следующую -матрицу, элементы которой суть n-мерные векторы:

Заменим каждый вектор в этой матрице символом (крестиком х или ноликом о) по следующему правилу. Будем двигаться в матрице (9.25) по строкам, т. е. упорядочим ее элементы следующим образом:

Вектор в матрице (9.25) заменяем крестиком, если он линейно независим от предыдущих векторов в цепочке (9.26), в противном случае заменяем этот вектор ноликом. После этой процедуры получаем матрицу вида

Отметим, что имеются некоторые ограничения на появление крестиков и ноликов в матрице Общее количество крестиков в этой матрице равно (по условию управляемости (9.21)), и вся первая строка заполнена только крестиками (так как линейно независимы). Далее, если столбец матрицы содержит нолик, то все элементы ниже его также нолики. Действительно, если вектор в (9.25) заменяется ноликом в то

Но тогда аналогичные включения справедливы для всех векторов т. е. ниже нолика стоят только нолики. Итак, каждый столбец матрицы состоит из столбца крестиков над столбцом ноликов (столбец ноликов может отсутствовать).

Обозначим через высоту самого высокого столбца крестиков в матрице через высоту второго по высоте столбца крестиков и т.д., наконец, через обозначим высоту самого низкого столбца крестиков в Полученные натуральные числа

называются индексами Кронекера линейной системы (9.20). Так как общее количество крестиков в матрице равно размерности пространства состояний, получаем равенство

Более того, по построению имеем

Покажем, что индексы Кронекера выражаются через размерности Имеем

так что

Переставим столбцы матрицы Е: поставим самый высокий столбец на первое место, второй по высоте столбец на второе место и т. д. Получаем -матрицу в блочно-треугольной форме. Эта матрица, повернутая на угол есть подграфик функции Легко видеть, что величины индексов Кронекера равны точкам скачков функции А, а количество этих индексов для каждой величины равно высоте соответствующего скачка А.

Итак, индексы Кронекера выражаются через поэтому они являются инвариантами по состоянию и обратной связи.

2. Нормальная форма Бруновского. Найдем нормальные формы линейных систем под действием преобразований состояния, а также состояния и обратной связи. В частности, покажем, что индексы Кронекера образуют полный набор инвариантов линейных систем по состоянию и обратной связи.

Теорема 9.1. Любая управляемая линейная система (9.20), (9.21) с к управляющими параметрами эквивалентна по состоянию системе вида

где

и эквивалентна по состоянию и обратной связи системе вида

где суть индексы Кронекера системы (9.20).

Система (9.30) называется нормальной формой Бруновского линейной системы (9.20).

Доказательство. Покажем сначала, что любую управляемую линейную систему (9.20) можно записать в подходящем базисе

в канонической форме (9.28).

Действуем в точности, как в случае скалярного управления (п. 9.2.1). Требуемая каноническая форма (9.28) однозначно определяет последние базисные векторы во всех к группах:

Обозначим пространство Тогда наша система

записывается в координатах как

Учитывая требуемые уравнения

имеем

или, что равносильно,

Итак, искомые базисные векторы обязаны удовлетворять следующим соотношениям:

Будем последовательно разрешать уравнения (9.33), начиная с (9.32), для всех

в то время как из (9.34) следует, что

для некоторых чисел Получаем уравнение

имеющее единственное решение относительно в силу условия (9.27).

Итак, мы доказали, что существует единственное линейное преобразование состояния, приводящее управляемую линейную систему (9.20) к каноническому виду (9.28).

Выбирая в качестве новых управлений функции

видим, что каждая из к подсистем в (9.28) эквивалентна по обратной связи системе вида (9.11), или, что то же самое, системе вида (9.12). Поэтому вся система (9.20) эквивалентна по состоянию и обратной связи нормальной форме Бруновского (9.30).