Глава 18. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

18.1. Гамильтоновы системы на тривиализованном кокасательном расслоении

18.1.1. Мотивация.

Рассмотрим управляемую систему, которая описывается конечным набором векторных полей на многообразии М:

Построим параметризацию кокасательного расслоения согласованную с этой системой. Сначала выберем базис в касательных пространствах из полей и их повторных скобок Ли:

предполагая, что система имеет полный ранг. Получаем специальные координаты в касательных пространствах

Поэтому любой касательный вектор к представляется набором

т. е. получена своего рода параметризация касательного расслоения Можно построить координаты на выбирая локальные координаты в но такой выбор будет внешним по отношению к нашей системе, и мы будем работать на без каких-либо координат.

Имея в виду гамильтонову систему принципа максимума, перейдем к кокасательному расслоению. Построим двойственный базис в выберем такие дифференциальные формы

что

Тогда в кокасательных пространствах возникают специальные координаты

Получаем параметризацию кокасательного расслоения:

В обозначениях параграфа 11.5

есть линейный на слоях гамильтониан, соответствующий полю Канонические координаты на возникают точно так же из коммутирующих векторных полей соответствующих локальным координатам на Следовательно, в (единственно интересном для теории управления) случае некоммутирующих полей «координаты» на не являются каноническими.

Наша цель — записать гамильтонову систему в этих нестандартных координатах на или в каких-нибудь других естественных координатах, согласованных с изучаемой управляемой системой.

18.1.2. Тривиализация ...

Пусть гладкое многообразие размерности и пусть -мерное векторное пространство. Предположим, что задана тривиализация кокасательного расслоения т. е. такой диффеоморфизм

что:

1) диаграмма

коммутативна, т. е.

2) для любых отображение

есть линейный изоморфизм векторных пространств

Пространство отождествляется с любым слоем т.е. оно является типичным слоем кокасательного расслоения

Фиксируя вектор получаем дифференциальную форму на

В предыдущем параграфе мы имели

но сейчас мы не фиксируем базис в

18.1.3. Симплектическая форма на EхM.

Чтобы записать гамильтонову систему на вычислим симплектическую форму на Начнем с формы Лиувилля

и вычислим ее перенос

Касательные и кокасательные пространства естественно отождествляются с прямыми произведениями:

Любое векторное поле есть сумма вертикальной и горизонтальной частей:

Аналогично, любая дифференциальная форма

есть сумма вертикальной и горизонтальной частей:

Вертикальная часть равна нулю на горизонтальных касательных векторах, а горизонтальная часть — на вертикальных касательных векторах.

В частности, векторные поля и дифференциальные формы на (быть может, зависящие от можно рассматривать как горизонтальные векторные поля и дифференциальные формы на

Вычислим значение формы на касательном векторе

Поэтому

где правая часть (18.2), рассматриваемая как горизонтальная форма на

Далее, вычислим перенос стандартной симплектической формы:

Напомним, что дифференциал формы может быть вычислен по формуле (11.15):

В нашем случае выберем пробные векторы вида

где постоянные векторные поля и горизонтальные векторные поля. В силу (18.3)

так как Далее,

(учитывем, что линейно по )

Следовательно,

Обозначим два первые слагаемые через

и применим формулу (18.3) к горизонтальной форме

В результате получаем выражение для переноса симплектической формы

т. е.

Замечание. В случае канонических координат можно взять пробные векторные поля тогда получаем

18.1.4. Гамильтонова система на EхM.

Формула (18.4) описывает симплектическую структуру на Вычислим теперь гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану

Можно рассматривать как семейство функций на параметризованное векторами из Е:

Разложим искомое гамильтоново векторное поле в сумму вертикальной и горизонтальной частей:

По определению гамильтонова поля

Преобразуем обе части этого равенства:

Приравняем друг другу вертикальные части (18.5):

из этого уравнения можно найти горизонтальную часть гамильтонова поля Действительно, у линейного изоморфизма

существует двойственное отображение

Тогда уравнение (18.6) можно записать как

а затем разрешить относительно

Чтобы найти вертикальную часть X поля приравняем друг другу горизонтальные части (18.5):

перепишем как

и решим это уравнение относительно X:

Следовательно, гамильтонова система на соответствующая гамильтониану имеет вид

Запишем теперь эту систему с использованием координат в кокасательных и касательных пространствах (координаты на мы не используем).

Выберем базис в Е:

тогда векторы и представляются как

Получаем

где

суть базисные -формы на Далее, внешние произведения

образуют базис в пространстве -форм на Разложим дифференциалы в этом базисе:

где коэффициенты суть гладкие функции

кососимметрические по нижним индексам:

Коэффициенты называются структурными константами (хотя они, вообще говоря, и непостоянны). Мы проясним этот термин и дадим простой рецепт их вычисления ниже, в предложении 18.1. Выберем репер в двойственный реперу

Запишем нашу гамильтонову систему (18.7) во введенных координатах. Функция Гамильтона есть

В силу того, что

получаем

где единственная единица — компонента. Следовательно, горизонтальная часть поля раскладывается по горизонтальным полям следующим образом:

Рассмотрим вертикальную часть поля

Второе слагаемое легко вычислить, так как

это разложение проверяется на базисных векторных полях . А первое слагаемое имеет вид

(мы оставляем его проверку читателю в качестве упражнения).

Итак, гамильтонова система в подвижных реперах записывается следующим образом:

Замечание. Эта система становится особенно простой (треугольной), если гамильтониан не зависит от точек на базе:

Вертикальная подсистема упрощается еще больше, когда

Оба эти условия выполняются для инвариантных задач на группах Ли, которые мы рассмотрим в следующих параграфах.

Структурные константы легко выражаются в терминах скобок Ли базисных векторных полей.

Предложение 18.1. Пусть векторные поля образуют двойственный репер к реперу -форм

Равенство

имеет место тогда и только тогда, когда

Доказательство. Равенство для можно переписать в следующем виде:

Левая часть вычисляется по формуле (18.3):

и утверждение доказано.

Если коэффициенты с постоянны, то пространство, натянутое на векторные поля образует конечномерную алгебру Ли, и числа называются структурными константами этой алгебры

Ли. Как было отмечено выше, для векторных полей общего вида с