Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
12.5. ПМП для задач с общими граничными условиямиВ этом параграфе мы докажем версии принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления, в которых граничные точки траекторий принадлежат заданным многообразиям. Сначала рассмотрим следующую задачу:
Здесь Если траектория Теорема 12.4. Пусть управление
Тогда существуют липшицева кривая
Замечания. (1) Любой линейный функционал на линейном пространстве естественно ограничивается на любое подпространство, поэтому условия трансверсальности (12.34) расшифровываются соответственно так:
(2) Задача со свободным временем (12.26), (12.27), (12.29), сводится к случаю закрепленного
Рис. 12.2. Условия трансверсальности (12.34) Докажем теорему 12.4. Доказательство. Схема доказательства ПМП, использованная нами для теорем 12.1, 12.3, применима после соответствующих модификаций к гораздо более общим задачам. Ниже мы только укажем, как нужно изменить доказательства этих теорем, чтобы охватить новые граничные условия Сначала рассмотрим частный случай, когда начальная точка закреплена: пусть
для некоторой точки Как и при доказательстве теоремы 12.3, введем расширенную систему на
Далее, в случае закрепленной конечной точки
Здесь Теперь, когда конечное многообразие
малой окрестности
Далее, расширим субмерсию: определим отображение
Так как управление
Поэтому мы заменяем необходимое условие оптимальности (12.36) на (12.37) и возвращаемся к схеме доказательства теорем 12.1, 12.3. Возьмем любое к
Определим отображения
Из включения (12.37) следует, что
По лемме 12.1
поэтому существует опорная плоскость, т. е. такое, что
Вычисляем эту производную по правилу цепочки:
и переписываем неравенства (12.41) в следующем виде:
Затем обозначаем ковектор
и получаем условия (12.30)-(12.33) в точности, как в теореме 12.3. Единственное отличие — в том, что теперь ковектор А не может быть произвольным: из равенства (12.44) следует второе из условий трансверсальности (12.34). Действительно, имеем
поэтому
Первое из условий трансверсальности (12.34) сейчас тривиально выполняется, и теорема в случае Теперь пусть начальное многообразие Вместо отображений (12.38), (12.39) рассмотрим следующие:
где
Применим лемму 12.1 к ограничению отображения
где
т. е. существует ковектор
для которого
В первом неравенстве
По правилу Лейбница вычислим производную
Имеем
При вычислении производной мы применили формулу (2.19) к потоку
Теперь условия (12.47), (12.46) записываются в виде
Определим, как и раньше, ковектор Первое условие трансверсальности также выполняется: равенство (12.48) можно переписать в виде
Но
Теорема полностью доказана. Рассмотрим еще более общую задачу — задачу со смешанными ограничениями (включение (12.50) ниже). Принцип максимума Понтрягина обобщается и на этот случай, как по формулировке, так и по доказательству. Изучим задачу оптимального управления вида
где Теорема 12.5. Пусть управление и оптимально в задаче (12.49)-(12.52). Тогда выполняются все утверждения теоремы 12.4, кроме ее условий трансверсальности (12.34), которые теперь заменяются условием
Замечания. (1) Мы отождествляем
поэтому условие трансверсальности (12.53) имеет смысл. (2) Важный частный случай смешанных граничных условий (12.50) есть случай периодических траекторий:
Действительно, в этом случае
есть диагональ квадрата
т. е.
Иными словами, оптимальная траектория в задаче с периодическими граничными условиями (12.54) имеет периодический гамильтонов лифт (экстремаль). Докажем теорему 12.5. Доказательство. Сведем нашу задачу к случаю раздельных граничных условий, вводя вспомогательную задачу на
(диагональ А определена в (12.55) выше),
Очевидно, что эта задача эквивалентна нашей задаче (12.49)-(12.52). Применим одну из версий ПМП (теорему 12.4) ко вспомогательной задаче. Гамильтониан такой же, как и для исходной задачи:
Соответствующая гамильтонова система есть
Все утверждения ПМП для задачи со смешанными граничными условиями получаются непосредственно, нужно только проверить условия трансверсальности. В начальный момент
т. е.
или, с учетом первого из уравнений (12.56),
А в конечный момент
т. е.
что совпадает с условием трансверсальности (12.53). Замечания. (1) Разумеется, если конечное время (2) Принцип максимума Понтрягина выдерживает и дальнейшие обобщения для более широких классов функционалов и граничных условий. После некоторой модификации рассуждений общая схема дает необходимые условия оптимальности для более общих задач.
|
1 |
Оглавление
|