Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

12.5. ПМП для задач с общими граничными условиями

В этом параграфе мы докажем версии принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления, в которых граничные точки траекторий принадлежат заданным многообразиям.

Сначала рассмотрим следующую задачу:

Здесь заданные погруженные подмногообразия пространства состояний То есть граничные точки больше не закреплены, как раньше, а принадлежат соответственно подмногообразиям

Если траектория оптимальна в этой задаче, то она оптимальна и в задаче с закрепленными граничными точками рассмотренной в параграфе 12.4. Следовательно, для траектории должно выполняться утверждение теоремы 12.3. Однако теперь требуются дополнительные условия, позволяющие выбрать граничные точки Естественно ожидать, что такие условия должны определяться скалярными условиями. И эти условия можно легко сформулировать в гамильтоновых терминах, они называются условиями трансверсальности, см. (12.34) ниже.

Теорема 12.4. Пусть управление , оптимально в задаче (12.26)-(12.29). Определим семейство гамильтонианов:

Тогда существуют липшицева кривая и число такие, что:

Замечания. (1) Любой линейный функционал на линейном пространстве естественно ограничивается на любое подпространство, поэтому условия трансверсальности (12.34) расшифровываются соответственно так:

(2) Задача со свободным временем (12.26), (12.27), (12.29), сводится к случаю закрепленного так же, как в параграфе 12.4, поэтому для такой задачи справедлива предшествующая теорема с дополнительным условием

Рис. 12.2. Условия трансверсальности (12.34)

Докажем теорему 12.4.

Доказательство. Схема доказательства ПМП, использованная нами для теорем 12.1, 12.3, применима после соответствующих модификаций к гораздо более общим задачам. Ниже мы только укажем, как нужно изменить доказательства этих теорем, чтобы охватить новые граничные условия

Сначала рассмотрим частный случай, когда начальная точка закреплена: пусть

для некоторой точки

Как и при доказательстве теоремы 12.3, введем расширенную систему на

Далее, в случае закрепленной конечной точки необходимое условие оптимальности траектории было следующим:

Здесь множество достижимости расширенной системы (12.35) и

Теперь, когда конечное многообразие больше не является точкой, нужно изменить рассуждения. В некотором смысле мы сведем конечное многообразие к точке, задавая его локально уравнением Выберем такую субмерсию

малой окрестности что

Далее, расширим субмерсию: определим отображение

Так как управление оптимально в нашей задаче то

Поэтому мы заменяем необходимое условие оптимальности (12.36) на (12.37) и возвращаемся к схеме доказательства теорем 12.1, 12.3.

Возьмем любое к и любую игольчатую вариацию (12.14) оптимального управления:

Определим отображения

Из включения (12.37) следует, что

По лемме 12.1

поэтому существует опорная плоскость, т. е. такое, что

Вычисляем эту производную по правилу цепочки:

и переписываем неравенства (12.41) в следующем виде:

Затем обозначаем ковектор

и получаем условия (12.30)-(12.33) в точности, как в теореме 12.3.

Единственное отличие — в том, что теперь ковектор А не может быть произвольным: из равенства (12.44) следует второе из условий трансверсальности (12.34). Действительно, имеем

поэтому

Первое из условий трансверсальности (12.34) сейчас тривиально выполняется, и теорема в случае доказана.

Теперь пусть начальное многообразие является произвольным погруженным многообразием в Построенную выше схему доказательства можно модифицировать, чтобы покрыть и этот случай. Так как теперь начальная точка не фиксирована, нужно добавить вариации

Вместо отображений (12.38), (12.39) рассмотрим следующие:

где Тогда необходимое условие оптимальности (12.40) заменяется включением

Применим лемму 12.1 к ограничению отображения на пространство

где малая окрестность точки Согласно замечанию после леммы 12.1 из включения (12.45) следует, что

т. е. существует ковектор

для которого

В первом неравенстве принадлежит линейному пространству, поэтому оно обращается в равенство:

По правилу Лейбница вычислим производную

Имеем

При вычислении производной мы применили формулу (2.19) к потоку

Теперь условия (12.47), (12.46) записываются в виде

Определим, как и раньше, ковектор равенством (12.44), тогда утверждения (12.30)-( 12.33) данной теоремы и второе из условий трансверсальности (12.34) будут доказаны.

Первое условие трансверсальности также выполняется: равенство (12.48) можно переписать в виде

Но поэтому

Теорема полностью доказана.

Рассмотрим еще более общую задачу — задачу со смешанными ограничениями (включение (12.50) ниже). Принцип максимума Понтрягина обобщается и на этот случай, как по формулировке, так и по доказательству.

Изучим задачу оптимального управления вида

где гладкое погруженное подмногообразие в

Теорема 12.5. Пусть управление и оптимально в задаче (12.49)-(12.52). Тогда выполняются все утверждения теоремы 12.4, кроме ее условий трансверсальности (12.34), которые теперь заменяются условием

Замечания. (1) Мы отождествляем

поэтому условие трансверсальности (12.53) имеет смысл.

(2) Важный частный случай смешанных граничных условий (12.50) есть случай периодических траекторий:

Действительно, в этом случае

есть диагональ квадрата Тогда условие трансверсальности (12.53) имеет вид

т. е.

Иными словами, оптимальная траектория в задаче с периодическими граничными условиями (12.54) имеет периодический гамильтонов лифт (экстремаль).

Докажем теорему 12.5.

Доказательство. Сведем нашу задачу к случаю раздельных граничных условий, вводя вспомогательную задачу на

(диагональ А определена в (12.55) выше),

Очевидно, что эта задача эквивалентна нашей задаче (12.49)-(12.52). Применим одну из версий ПМП (теорему 12.4) ко вспомогательной задаче. Гамильтониан такой же, как и для исходной задачи:

Соответствующая гамильтонова система есть

Все утверждения ПМП для задачи со смешанными граничными условиями получаются непосредственно, нужно только проверить условия трансверсальности.

В начальный момент первое из условий (12.34) имеет вид

т. е.

или, с учетом первого из уравнений (12.56),

А в конечный момент

т. е.

что совпадает с условием трансверсальности (12.53).

Замечания. (1) Разумеется, если конечное время свободно, то к утверждениям теоремы 12.5 добавляется условие

(2) Принцип максимума Понтрягина выдерживает и дальнейшие обобщения для более широких классов функционалов и граничных условий. После некоторой модификации рассуждений общая схема дает необходимые условия оптимальности для более общих задач.

1
Оглавление
email@scask.ru