8.2. Совместимые векторные поля и релаксации

Определение 8.1. Векторное поле называется совместимым с системой если

Простое условие совместимости дается в следующем утверждении. Предложение 8.1. Пусть Для любых векторных полей и любых функций векторное поле совместимо с системой

Отсюда, учитывая следствие 5.2, получаем полезное предложение. Следствие 8.2. Если система полного ранга такая, что порожденный ею положительный конус

симметричен, система вполне управляема.

Предложение 8.1 вытекает из следующего сильного общего утверждения.

Теорема 8.2. Пусть неавтономные векторные поля имеют компактный носитель. Пусть функция измерима.

Тогда существует последовательность неавтономных векторных полей т. е. или для любых тип, такая, что

равномерно и равномерно со всеми производными по

Отсюда следует предложение 8.1. В случае оно получается из теоремы 8.2. Действительно, легко показать, что кривые совпадают друг с другом (указание: докажите, что кривая постоянна). В случае мы умножаем управляющие параметры на произвольную положительную функцию (это не влияет на множество достижимости за произвольное неотрицательное время), а случай получается предельным переходом.

Рис. 8.7. Аппроксимация потока, теорема 8.2

Замечание. Если поля кусочно непрерывны по то аппроксимирующие поля в теореме 8.2 могут быть выбраны кусочно постоянными.

Теорема 8.2 следует из двух лемм, приведенных ниже.

Лемма 8.1. Если выполнены условия теоремы 8.2, то существует последовательность неавтономных векторных полей такая, что

равномерно и равномерно со всеми производными по

Доказательство. Зафиксируем произвольное натуральное число Можно выбрать такое покрытие отрезка подмножествами

что для любых существуют такие, что

где К — компактный носитель полей Действительно, поля ограничены в норме поэтому они образуют предкомпактное множество в топологии, индуцированной -Разделим множества на подмножеств равной меры:

В каждом выберем подмножество такое, что

Наконец, определим следующие векторные поля:

Тогда легко видеть, что последовательность полей искомая. Теперь докажем вторую часть теоремы 8.2.

Лемма 8.2. Пусть неавтономные векторные поля ограничены по и имеют компактный носитель. Если

то

где оба предельных перехода равномерны по и равномерны со всеми производными по

Доказательство. (1) Сначала докажем утверждение в случае Обозначим поток

Тогда

(интегрируем по частям)

Так как последние два члена в предыдущем разложении стремятся к нулю, поэтому

что доказывает утверждение леммы в случае

(2) Рассмотрим общий случай. Разложим векторные поля последовательности:

Обозначим Из формулы вариаций получаем

По части (1) этого доказательства следовательно, откуда

что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали теорему 8.2, а потому и предложение 8.1.