Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.2. Совместимые векторные поля и релаксации

Определение 8.1. Векторное поле называется совместимым с системой если

Простое условие совместимости дается в следующем утверждении. Предложение 8.1. Пусть Для любых векторных полей и любых функций векторное поле совместимо с системой

Отсюда, учитывая следствие 5.2, получаем полезное предложение. Следствие 8.2. Если система полного ранга такая, что порожденный ею положительный конус

симметричен, система вполне управляема.

Предложение 8.1 вытекает из следующего сильного общего утверждения.

Теорема 8.2. Пусть неавтономные векторные поля имеют компактный носитель. Пусть функция измерима.

Тогда существует последовательность неавтономных векторных полей т. е. или для любых тип, такая, что

равномерно и равномерно со всеми производными по

Отсюда следует предложение 8.1. В случае оно получается из теоремы 8.2. Действительно, легко показать, что кривые совпадают друг с другом (указание: докажите, что кривая постоянна). В случае мы умножаем управляющие параметры на произвольную положительную функцию (это не влияет на множество достижимости за произвольное неотрицательное время), а случай получается предельным переходом.

Рис. 8.7. Аппроксимация потока, теорема 8.2

Замечание. Если поля кусочно непрерывны по то аппроксимирующие поля в теореме 8.2 могут быть выбраны кусочно постоянными.

Теорема 8.2 следует из двух лемм, приведенных ниже.

Лемма 8.1. Если выполнены условия теоремы 8.2, то существует последовательность неавтономных векторных полей такая, что

равномерно и равномерно со всеми производными по

Доказательство. Зафиксируем произвольное натуральное число Можно выбрать такое покрытие отрезка подмножествами

что для любых существуют такие, что

где К — компактный носитель полей Действительно, поля ограничены в норме поэтому они образуют предкомпактное множество в топологии, индуцированной -Разделим множества на подмножеств равной меры:

В каждом выберем подмножество такое, что

Наконец, определим следующие векторные поля:

Тогда легко видеть, что последовательность полей искомая. Теперь докажем вторую часть теоремы 8.2.

Лемма 8.2. Пусть неавтономные векторные поля ограничены по и имеют компактный носитель. Если

то

где оба предельных перехода равномерны по и равномерны со всеми производными по

Доказательство. (1) Сначала докажем утверждение в случае Обозначим поток

Тогда

(интегрируем по частям)

Так как последние два члена в предыдущем разложении стремятся к нулю, поэтому

что доказывает утверждение леммы в случае

(2) Рассмотрим общий случай. Разложим векторные поля последовательности:

Обозначим Из формулы вариаций получаем

По части (1) этого доказательства следовательно, откуда

что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали теорему 8.2, а потому и предложение 8.1.

1
Оглавление
email@scask.ru