1.2. Векторные поля на гладких многообразиях

Касательное пространство гладкого многообразия в точке — это линейное приближение многообразия в окрестности этой точки.

Определение 1.5. Пусть гладкое к-мерное подмногообразие в его точка. Касательным пространством к в точке х называется к-мерное линейное подпространство

которое в случаях определения 1.1 задается следующим образом:

Замечание. Касательное пространство не зависит от координат, так как гладкие замены переменных порождают линейные преобразования касательного пространства.

Касательное пространство абстрактного многообразия в точке определяется как множество векторов скорости всех гладких кривых на многообразии, выходящих из этой точки.

Определение 1.6. Пусть гладкая кривая на многообразии выходящая из точки

Касательным вектором

кривой в точке называется класс эквивалентности всех гладких кривых в выходящих из и имеющих такой же многочлен Тейлора порядка 1, как в любой системе координат в окрестности точки (рис. 1.2).

Определение 1.7. Касательным пространством гладкого многообразия в точке называется множество всех касательных

Рис. 1.2. Касательный вектор

Рис. 1.3. Касательное пространство

векторов всех гладких кривых в выходящих из

(рис. 1.3).

Упражнение 1.2. Пусть гладкое k-мерное многообразие и Покажите, что касательное пространство имеет естественную структуру k-мерного линейного пространства.

Определение 1.8. Гладким векторным полем на гладком многообразии называется гладкое отображение

сопоставляющее любой точке касательный вектор в этой точке.

Рис. 1.4. Решение

Мы будем обозначать множество всех гладких векторных полей на гладком многообразии через

Определение 1.9. Гладкой динамической системой или обыкновенным дифференциальным уравнением на гладком многообразии называется уравнение вида

или, что то же самое,

где гладкое векторное поле на Решением этой системы называется гладкое отображение

интервала в многообразие такое, что

(см. рис. 1.4).

Определение 1.10. Пусть гладкое отображение между гладкими многообразиями Дифференциалом в точке называется линейное отображение

которое определяется следующим образом:

Рис. 1.5. Дифференциал отображения

для любой гладкой кривой в выходящей из

(рис. 1.5).

Изучим действие гладких отображений на векторные поля. Пусть векторное поле на и пусть

есть соответствующее дифференциальное уравнение. Чтобы найти образ векторного поля под действием диффеоморфизма

возьмем решение уравнения (1.1) и найдем уравнение, которому удовлетворяет образ решения

Итак, искомое уравнение имеет вид

В правой части этого уравнения стоит векторное поле на порожденное диффеоморфизмом Ф:

Символ используется наряду с для обозначения дифференциала отображения в точке

Замечание. Вообще говоря, гладкое отображение порождает отображение касательных векторов, а не векторных полей. Для того чтобы отображал векторные поля в векторные поля, должно быть диффеоморфизмом.