1.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения и потоки

Теорема 1.2. Рассмотрим гладкое дифференциальное уравнение

на гладком многообразии в Для любой начальной точки до существует единственное решение

уравнения (1.3) с начальным значением

определенное на достаточно малом интервале Отображение

гладкое. В частности, область определения решения может быть выбрана гладко зависящей от точки

Доказательство. Мы докажем эту теорему, сводя ее к классическому аналогу в Утверждение теоремы локально. Выпрямим подмногообразие в окрестности точки

Рассмотрим ограничение Кривая в есть решение уравнения (1.3) тогда и только тогда, когда ее образ в — решение индуцированной системы

поэтому утверждение теоремы следует из аналогичной теоремы для дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве.

Теорема 1.3. Пусть гладкое подмногообразие, а система дифференциальных уравнений в

удовлетворяет условию

Тогда для любой начальной точки соответствующее решение уравнения (1.4) с начальным условием принадлежит для всех достаточно малых

Доказательство. Рассмотрим ограничение векторного поля

По теореме существования для система

имеет решение где такое, что

С другой стороны, кривая есть решение уравнения (1.4) с тем же начальным условием. Поэтому включение (1.5) завершает доказательство теоремы.

Определение 1.11. Векторное поле V называется полным, если для любой точки решение задачи Коши

определено для всех

Пример 1.1. Векторное поле полно на всей прямой а также на ее подмножествах но не полно ни на каких других одмногообразиях прямой. Векторное поле не полно ни на каких подмногообразиях прямой, кроме

Предложение 1.1. Пусть существует такое что для любого решение задачи Коши (1.6) определено при Тогда векторное поле полно.

Замечание. В этом утверждении требуется, чтобы существовало общее для всех начальных точек Вообще говоря, может быть не отделено от нуля для всех Например, для векторного поля при

Доказательство. Пусть условие предложения выполняется. Тогда можно определить следующее семейство отображений на М:

Здесь сдвиг точки вдоль траектории векторного поля за время По теореме 1.2 все отображения гладкие. Более того, есть гладкое семейство отображений.

Очень важное свойство этого семейства состоит в том, что оно образует однопараметрическую группу, т. е.

Действительно, обе кривые в М:

удовлетворяют уравнению с одним и тем же начальным условием В силу единственности Равенство для получается перестановкой

Поэтому выполнены следующие локальные групповые свойства семейства

В частности, все суть диффеоморфизмы.

Определим семейство для всех значений Любое можно представить в виде

Положим

Тогда кривая

есть решение задачи Коши (1.6).

Определение 1.12. Для полного векторного поля отображение

называется потоком, порожденным полем

Замечание. Полезно представлять векторное поле как поле скоростей жидкости, движущейся по Поток переносит за время любую частицу из положения в положение (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Поток векторного поля V

Простые достаточные условия полноты векторного поля можно сформулировать в терминах компактности.

Предложение 1.2. Пусть компактное подмножество, и пусть Тогда существует такое, что для любого решение задачи Коши (1.6) определено при всех

Доказательство. По теореме 1.2 область определения решения может быть выбрана непрерывно зависящей от Диаметр области определения имеет положительную нижнюю грань для принадлежащих компакту

Следствие 1.1. Любое векторное поле на компактном многообразии полно.

Следствие 1.2. Предположим, что векторное поле имеет компактный носитель, т. е.

компактен. Тогда поле V полно.

Доказательство. Действительно, согласно предложению 1.2 существует такое, что все траектории поля V, начинающиеся в определены для поэтому все траектории поля V, начинающиеся вне постоянны, следовательно, определены для всех В силу предложения 1.1, векторное поле V полно.

Замечание. Если мы интересуемся поведением (траекторий) векторного поля в компактном подмножестве можно считать, что V полно. Действительно, возьмем открытую окрестность к подмножества К с компактным замыканием Найдем функцию такую, что

Тогда векторное поле полно, так как оно имеет компактный носитель. С другой стороны, векторные поля совпадают в К, поэтому они имеют одни и те же траектории в этом подмножестве.