Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения и потоки

Теорема 1.2. Рассмотрим гладкое дифференциальное уравнение

на гладком многообразии в Для любой начальной точки до существует единственное решение

уравнения (1.3) с начальным значением

определенное на достаточно малом интервале Отображение

гладкое. В частности, область определения решения может быть выбрана гладко зависящей от точки

Доказательство. Мы докажем эту теорему, сводя ее к классическому аналогу в Утверждение теоремы локально. Выпрямим подмногообразие в окрестности точки

Рассмотрим ограничение Кривая в есть решение уравнения (1.3) тогда и только тогда, когда ее образ в — решение индуцированной системы

поэтому утверждение теоремы следует из аналогичной теоремы для дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве.

Теорема 1.3. Пусть гладкое подмногообразие, а система дифференциальных уравнений в

удовлетворяет условию

Тогда для любой начальной точки соответствующее решение уравнения (1.4) с начальным условием принадлежит для всех достаточно малых

Доказательство. Рассмотрим ограничение векторного поля

По теореме существования для система

имеет решение где такое, что

С другой стороны, кривая есть решение уравнения (1.4) с тем же начальным условием. Поэтому включение (1.5) завершает доказательство теоремы.

Определение 1.11. Векторное поле V называется полным, если для любой точки решение задачи Коши

определено для всех

Пример 1.1. Векторное поле полно на всей прямой а также на ее подмножествах но не полно ни на каких других одмногообразиях прямой. Векторное поле не полно ни на каких подмногообразиях прямой, кроме

Предложение 1.1. Пусть существует такое что для любого решение задачи Коши (1.6) определено при Тогда векторное поле полно.

Замечание. В этом утверждении требуется, чтобы существовало общее для всех начальных точек Вообще говоря, может быть не отделено от нуля для всех Например, для векторного поля при

Доказательство. Пусть условие предложения выполняется. Тогда можно определить следующее семейство отображений на М:

Здесь сдвиг точки вдоль траектории векторного поля за время По теореме 1.2 все отображения гладкие. Более того, есть гладкое семейство отображений.

Очень важное свойство этого семейства состоит в том, что оно образует однопараметрическую группу, т. е.

Действительно, обе кривые в М:

удовлетворяют уравнению с одним и тем же начальным условием В силу единственности Равенство для получается перестановкой

Поэтому выполнены следующие локальные групповые свойства семейства

В частности, все суть диффеоморфизмы.

Определим семейство для всех значений Любое можно представить в виде

Положим

Тогда кривая

есть решение задачи Коши (1.6).

Определение 1.12. Для полного векторного поля отображение

называется потоком, порожденным полем

Замечание. Полезно представлять векторное поле как поле скоростей жидкости, движущейся по Поток переносит за время любую частицу из положения в положение (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Поток векторного поля V

Простые достаточные условия полноты векторного поля можно сформулировать в терминах компактности.

Предложение 1.2. Пусть компактное подмножество, и пусть Тогда существует такое, что для любого решение задачи Коши (1.6) определено при всех

Доказательство. По теореме 1.2 область определения решения может быть выбрана непрерывно зависящей от Диаметр области определения имеет положительную нижнюю грань для принадлежащих компакту

Следствие 1.1. Любое векторное поле на компактном многообразии полно.

Следствие 1.2. Предположим, что векторное поле имеет компактный носитель, т. е.

компактен. Тогда поле V полно.

Доказательство. Действительно, согласно предложению 1.2 существует такое, что все траектории поля V, начинающиеся в определены для поэтому все траектории поля V, начинающиеся вне постоянны, следовательно, определены для всех В силу предложения 1.1, векторное поле V полно.

Замечание. Если мы интересуемся поведением (траекторий) векторного поля в компактном подмножестве можно считать, что V полно. Действительно, возьмем открытую окрестность к подмножества К с компактным замыканием Найдем функцию такую, что

Тогда векторное поле полно, так как оно имеет компактный носитель. С другой стороны, векторные поля совпадают в К, поэтому они имеют одни и те же траектории в этом подмножестве.

1
Оглавление
email@scask.ru