13.3. Наиболее экономная остановка поезда

Как и в параграфе 13.1, мы управляем движением поезда. Теперь наша цель — в том, чтобы остановить поезд в заданный момент времени с минимальным расходом энергии, которая предполагается пропорциональной интегралу от квадрата ускорения.

Получаем задачу оптимального управления:

Теорема Филиппова напрямую неприменима, так как правая часть системы некомпактна. Впрочем, если выбрать новое время можно получить ограниченную правую часть, затем компактифицировать и применить теорему Филиппова. Таким образом можно доказать существование оптимального управления. Общую теорию задач этого класса (линейно-квадратичных) мы построим в гл. 16.

Используем принцип максимума для нахождения оптимального управления. Функция Гамильтона есть

Вдоль оптимальных траекторий

Из гамильтоновой системы принципа максимума получаем

Сначала рассмотрим случай анормальных экстремалей:

Тройка должна быть ненулевой, поэтому

Но из условия максимума ПМП следует, что

Так как то максимум выше не достигается. Следовательно, анормальных экстремалей нет.

Рассмотрим нормальный случай: можно положить Нормальный гамильтониан равен

Условие максимума ПМП равносильно тождеству поэтому

вдоль оптимальных траекторий. Учитывая систему (13.17), заключаем, что оптимальное управление линейно:

Максимизированный гамильтониан

гладок. Поэтому оптимальные траектории удовлетворяют гамильтоновой системе

Для переменной получаем граничную задачу

Для любых существует в точности одно решение этой задачи — кубический сплайн. Функция находится из уравнения

Итак, через любую начальную точку проходит единственная экстремальная траектория, попадающая в начало координат. Это

кривая где кубический многочлен, удовлетворяющий граничным условиям (13.19), а В силу существования эта траектория оптимальна.