24.5. Задача минимизации длины

24.5.1. Постановка задачи.

Предположим, что для любых т.е. на Тогда в силу пункта (1) теоремы 24.1 система (24.14) вполне управляема. Рассмотрим следующую задачу оптимизации: для любых двух заданных конфигураций контакта системы твердых тел найти допустимое движение, переводящее первую конфигурацию во вторую, и такую, чтобы траектория точки контакта в (или, что эквивалентно, в была кратчайшей. Эту геометрическую задачу можно сформулировать как задачу оптимального управления:

Отметим, что проекции уравнений имеют соответственно вид

и

поэтому субриманова длина I кривой равна римановой длине каждой из кривых

Как обычно, заменяем длину I функционалом действия

и ограничимся кривыми постоянной скорости:

24.5.2. Принцип максимума.

Как показано при доказательстве теоремы 24.1, векторные поля образуют репер на (см. (24.15)-(24.17)). Обозначим соответствующие линейные на слоях в гамильтонианы:

Тогда гамильтониан принципа максимума имеет вид

а соответствующая гамильтонова система записывается как

24.5.3. Анормальные экстремали.

Пусть Из условия максимума ПМП следует, что

вдоль анормальных экстремалей. Дифференцируя эти равенства в силу гамильтоновой системы (24.23), получаем еще одно тождество:

Еще одно дифференцирование в силу (24.23) дает равенство, содержащее управления:

Естественно ожидать, что условия (24.23)-(24.26) на анормальные экстремали в должны проецироваться в некоторые естественные геометрические условия на Это действительно так, и сейчас мы выведем дифференциальные уравнения для проекций анормальных экстремалей на

В соответствии с разложением касательных пространств

получаем разложение кокасательных пространств

Тогда

Тогда тождества (24.24) и (24.25) принимают форму

При этих условиях, принимая во внимание равенства получаем

Тогда из тождества (24.26) следует, что

Поэтому с точностью до перепараметризации времени анормальные управления удовлетворяют следующим равенствам:

Для того чтобы записать проекции гамильтоновой системы (24.23) на и разложим гамильтоновы поля Учитывая

равенства (24.27), (24.28), получаем

Отсюда легко следует, что . Так как вдоль анормальных экстремалей, проекция на системы (24.23) с управлениями (24.30) имеет вид

Следовательно, проекции суть римановы геодезические на

Аналогично, для проекций на получаем равенства

поэтому

т. е. проекции суть геодезические в Доказано следующее утверждение.

Предложение 24.1. Проекции анормальных экстремальных кривых суть римановы геодезические соответственно в

Анормальные субримановы геодезические оптимальны на отрезках на которых хотя бы одна из римановых геодезических является минималью длины. В частности, малые дуги анормальных геодезических оптимальны.

24.5.4. Нормальные экстремали.

Пусть Нормальные экстремальные управления определяются из условия максимума

и нормальные экстремали суть траектории гамильтоновой системы

Максимизированный гамильтониан гладок, поэтому малые дуги нормальных экстремальных траекторий оптимальны.

Рассмотрим случай, когда одна из катящихся поверхностей есть плоскость: В этом случае нормальная гамильтонова

система (24.31) упрощается. Выберем следующий репер на

и введем соответствующие линейные на слоях гамильтонианы

Учитывая, что вычислим скобки Ли в этом репере:

Тогда нормальная гамильтонова система (24.31) записывается следующим образом:

Рис. 24.3. Сфера на плоскости

Отметим, что кроме гамильтониана эта система имеет еще один интеграл:

Введем координаты на поверхности уровня :

Тогда гамильтонова система еще более упрощается и принимает вид

Случай т. е. качение сферы по плоскости, вполне интегрируем. Эта задача подробно изучена в книге [12].