13.4. Управление линейным осциллятором с критерием качества

Мы управляем линейным осциллятором, например, маятником с малой амплитудой, неограниченной силой и, но учитываем расход энергии, которая измеряется интегралом - Задача оптимального управления записывается как

Существование оптимального управления можно доказать так же, как в предыдущем параграфе.

Гамильтониан принципа максимума равен

Из соответствующей гамильтоновой системы получаем

Так же, как в предыдущем параграфе, показываем, что анормальных экстремалей нет, поэтому можно положить Из условия максимума следует, что

В частности, оптимальное управление есть гармоника:

Система уравнений для экстремальных траекторий

допускает явное решение:

Упражнение 13.1. Покажите, что граничным условиям удовлетворяет единственная экстремальная траектория вида (13.20).

Оптимальное управление существует, следовательно, эти экстремальные траектории оптимальны.