2.8. Производная потока по параметру
Пусть 
неавтономное векторное поле, гладко зависящее от вещественного параметра 
Исследуем зависимость потока поля 
от параметра 
Запишем
с возмущением 
По формуле вариаций (2.27) вышеприведенный поток равен
Разложим по 
поэтому
Наконец, получаем
т. е.
Аналогично по формуле вариаций (2.28) получаем равенство
Для автономного векторного поля 
зависящего от параметра, формула (2.31) принимает форму
а при 
Предложение 2.7. Предположим, что
Тогда
Иными словами, в предположении условия коммутативности (2.34) хронологическая экспонента 
совпадает с потоком
задающимся условиями
Доказательство. Покажем, что экспонента в правой части удовлетворяет тому же уравнению, что и хронологическая экспонента в левой части. В силу (2.33) имеем
Ввиду равенства (2.34)
поэтому
В силу равенства (2.34) можно также поменять местами операторы в правой части:
Заметим, что выполняется начальное условие
Теперь утверждение следует из того, что задача Коши для потоков
имеет единственное решение:
