Глава 9. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ПО СОСТОЯНИЮ И ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
9.1. Эквивалентность по обратной связи
Рассмотрим управляемую систему
Будем предполагать, что не только 
но и 
есть гладкое многообразие. От правой части системы будем требовать, чтобы для всех фиксированных и 
правая часть 
была гладким векторным полем на 
а отображение
было гладким. В качестве допустимых управлений будем брать измеримые локально ограниченные отображения
для простоты можно также рассматривать кусочно непрерывные управления. При подстановке такого управления 
в управляемую систему (9.1) получается неавтономное дифференциальное уравнение
с правой частью гладкой по 
и измеримой, локально ограниченной по 
Для таких 
справедлива стандартная теорема существования и единственности решений, по крайней мере локальная. Решения 
дифференциального уравнения (9.2) липшицевы кривые в 
(см. п. 2.4.1).
В параграфе 5.7 мы уже рассматривали преобразования состояния управляемых систем, т. е. диффеоморфизмы 
Преобразования состояния отображают траектории управляемых систем в траектории, с тем же управлением. Сейчас мы рассмотрим новый класс преобразований обратной связи, также переводящий траектории в траектории, но, возможно, с новым управлением.
Обозначим пространство новых управляющих параметров через 
и будем предполагать, что это гладкое многообразие.
Определение 9.1. Пусть 
есть гладкое отображение. Преобразование вида
называется преобразованием обратной связи.
Замечание. Преобразование обратной связи перепараметризует управление и некоторым способом, зависящим от состояния 
Легко видеть, что любая допустимая траектория 
новой системы 
соответствующая управлению 
является
также допустимой и для исходной системы 
с управлением 
хотя обратное, вообще говоря, неверно.
Чтобы получить обратное соответствие, будем рассматривать обратимые преобразования обратной связи, для которых
Такие отображения 
порождают преобразования обратной связи
Соответствующие управляемые системы
называются эквивалентными по обратной связи.
При работе с управляемой системой естественно пытаться упростить ее преобразованиями состояния и обратной связи.
Замечание. В математической физике преобразования обратной связи называются калибровочными преобразованиями.
Далее в этой главе будем рассматривать только аффинные по управлению системы к
К таким системам естественно применять преобразования обратной связи, аффинные по управлению:
Поставим себе задачу охарактеризовать аффинные по управлению системы (9.3), локально эквивалентные линейным управляемым системам относительно преобразований состояния и обратной связи (9.4), и классифицировать их относительно этого класса преобразований.
