15.3. Теорема о релейном управлении
Оптимальное управление в линейной задаче быстродействия релейно, т. е. кусочно постоянно и принимает значения в вершинах многогранника 
Теорема 15.1. Пусть управление 
оптимально для линейной задачи быстродействия 
Тогда существует конечное подмножество
такое, что
и ограничение 
локально постоянно.
Доказательство. Применим принцип максимума Понтрягина к линейной задаче быстродействия (15.1)-(15.3). Вектор состояния и сопряженный вектор суть
а точка сопряженного пространства есть
Зависящий от управления гамильтониан равен
(мы умножаем строки на столбцы). Гамильтонова система и условие максимума ПМП имеют вид
Из гамильтоновой системы следует, что присоединенный вектор
аналитичен вдоль оптимальной траектории.
Введем в рассмотрение множество индексов, соответствующих вершинам, в которых достигается максимум (15.6):
В любой момент 
линейная функция 
достигает максимума в вершинах многогранника 
Докажем, что в каждый момент, за исключением конечного их числа, этот максимум принимается в единственной вершине.
Определим множество
От противного: предположим, что 
бесконечно, т. е. существует последовательность разных моментов
Так как имеется лишь конечное число возможностей для подмножества 
то можно предположить, не теряя общности, что
Обозначим 
Далее, так как выпуклая оболочка
является гранью то существуют такие индексы 
что отрезок 
есть ребро 
Имеем
Для вектора 
получаем
Но 
в силу (15.7), поэтому аналитическая функция
имеет бесконечное число нулей на отрезке [0, т. е. она тождественно равна нулю:
Последовательно дифференцируя это тождество при 
получаем
По условию общего положения (15.4) имеем 
что противоречит условию (15.7). Поэтому множество 
конечно.
Вне множества 
функция 
достигает максимума на 
в единственной вершине 
поэтому оптимальное управление 
принимает значение в вершине 
Включение (15.5) доказано. Далее,
Но все функции 
непрерывны, поэтому предшествующее неравенство сохраняется для моментов времени, близких к 
Функция 
локально постоянна на 
следовательно, оптимальное управление 
также локально постоянно на 
Далее нам понадобится следующее утверждение, доказанное в рассуждении выше.
Следствие 15.1. Пусть функция 
есть ненулевое решение присоединенного уравнения 
Тогда всюду на отрезке 
за исключением конечного числа точек, существует единственное управление 
такое, что 
