16.4. Сопряженные точки

В этом параграфе мы получим условия существования и единственности оптимальных управлений в зависимости от конечного времени. Поэтому будем записывать минимизируемый функционал в следующем виде:

Обозначим

Мы показали в предложении 16.1, что при задача имеет решение для любых граничных условиях, а при решений нет ни для каких граничных условий. Случай неопределенный. Исследуем подробнее свойства функции

Предложение 16.2. (1) Функция невозрастающая и непрерывная.

(2) Для любых справедливы неравенства

(3) Если то нижняя грань в (16.13) достигается, т. е. это — минимум.

Доказательство. (3) Обозначим

функционал слабо непрерывен на Заметим, что

Возьмем минимизирующую последовательность функционала на сфере В силу слабой компактности шара из этой последовательности можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность

Если то поэтому что противоречит предположению пункта (3).

Следовательно, и Поэтому достигает минимума на сфере в точке .

(2) Пусть По формуле Коши

поэтому

(по неравенству Коши-Буняковского)

Подставляя эту оценку получаем второе неравенство в (16.14).

Первое неравенство в (16.14) получается, если рассмотреть слабо сходящуюся последовательность на сфере

(1) Монотонность Возьмем любое Пространство допускает изометрическое вложение в 0,0) за счет продолжения управлений и нулем:

Более того,

Поэтому

Непрерывность докажем отдельно непрерывность справа и слева.

Непрерывность справа. Пусть Можно считать, что (в противном случае поэтому минимум в (16.13) достигается:

Продолжим функции на отрезок нулем. Выбирая слабо сходящуюся подпоследовательность в единичном шаре, можно предполагать, что

поэтому

Тогда

В силу монотонности

и непрерывность справа доказана.

Непрерывность слева. Можно считать, что (иначе при Поэтому минимум в (16.13) достигается:

Для траектории

получаем

Обозначим

и заметим, что

Обозначим шар

Очевидно,

Отображение и из в линейно, а система управляема, поэтому есть такое выпуклое полномерное множество в что положительный конус, порожденный этим множеством, совпадает со всем Поэтому

для некоторой окрестности множества Далее, существует такой момент что

следовательно,

Можно считать, что при . Рассмотрим следующее семейство управлений, аппроксимирующее и:

Получаем

Но и функция невозрастающая, поэтому она непрерывна слева.

Непрерывность справа доказана выше, следовательно, непрерывна.

Докажем, что функция не может иметь более одного корня. Предложение 16.3. Если для некоторого то для всех

Доказательство. Пусть По предложению 16.2 нижняя грань в (16.13) достигается на некотором управлении и

Тогда

т. е. управление и оптимально, следовательно, удовлетворяет принципу максимума. Существует решение гамильтоновой системы

с граничными условиями

и

Мы доказали, что для любого корня функции любое управление и для которого удовлетворяет ПМП.

Докажем, что для всех От противного: предположим, что функция обращается в нуль в некоторый момент В силу монотонности

Следовательно, управление

удовлетворяет условиям

Поэтому и удовлетворяет ПМП, т. е.

есть аналитическая функция. Но поэтому что противоречит равенству

Было бы желательно получить способ решения уравнения не требующий процедуры минимизации в (16.13). Это возможно в терминах следующего понятия.

Определение 16.1. Точка называется сопряженной точке для рассматриваемой линейно-квадратичной задачи, если существует такое нетривиальное решение гамильтоновой системы

что

Предложение 16.4. Функция обращается в нуль в точке тогда и только тогда, когда есть ближайшая к сопряженная точка.

Доказательство. Пусть Во-первых, есть сопряженная точка, это было показано в доказательстве предложения 16.3.

Пусть есть сопряженная точка. Вычислим функционал на соответствующем управлении

Итак, тртт Теперь утверждение следует из того, что функция невозрастающая.

Первая (ближайшая к нулю) сопряженная точка определяет существование и единственность оптимального управления в линейно-квадратичной задаче.

До первой сопряженной точки оптимальное управление существует и единственно для любых граничных условий (если бы существовало два оптимальных управления, то их разность порождала бы сопряженную точку).

В первой сопряженной точке получаем существование и неединственность для некоторых граничных условий и несуществование для других граничных условий.

А после первой сопряженной точки задача не имеет оптимальных решений ни для каких граничных условий.