20.5.2. Локальная управляемость билинейных систем.

Рассмотрим билинейную управляемую систему вида

Мы хотим выяснить, когда эта система локально управляема в начале координат, т. е.

Отрицание необходимых условий геометрической оптимальности дает достаточные условия локальной управляемости.

Применим к нашей системе условия второго порядка из следствия 20.1. Предположим, что

Тогда траектория геометрически оптимальна, поэтому она удовлетворяет принципу максимума. Зависящий от управления гамильтониан равен

Вертикальная часть гамильтоновой системы вдоль траектории имеет вид

Из принципа максимума следует, что

т. е.

для некоторого ковектора поэтому

Переходим к условиям второго порядка. Условие Лежандра вырождается, так как система аффинна по управлению, а условие Гоха принимает форму

Дифференцируя это тождество в силу гамильтоновой системы (20.39), получаем, вдобавок к (20.40), дополнительные ограничения на

Обобщенное условие Лежандра вырождается. Итак, неравенство

необходимо для геометрической оптимальности траектории Иными словами, равенство

достаточно для локальной управляемости билинейной системы (20.38) в начале координат.