11.3. Внешний дифференциал

Внешний дифференциал функции (т. е. -формы) есть -форма: если то ее дифференциал

есть функционал (производная по направлению)

поэтому

По формуле Ньютона-Лейбница, если ориентированная гладкая кривая, соединяющая то

При этом правую часть можно рассматривать как интеграл функции а по ориентированной границе кривой: поэтому

В нашем изложении формула Ньютона-Лейбница (11.6) является следствием определения (11.5) дифференциала функции. Но можно пойти и обратным путем: если мы постулируем формулу Ньютона-Лейбница (11.6) для любой гладкой кривой и перейдем к пределу необходимо получим определение (11.5) дифференциала функции.

Этот подход можно использовать для определения дифференциала форм высших степеней. Пусть Мы определим внешний дифференциал

как дифференциальную -форму, для которой выполняется формула Стокса

для -мерных подмногообразий с границей (для простоты можно здесь считать диффеоморфным образом -мерного многогранника). Граница ориентируется репером касательных векторов так, чтобы репер задавал положительную ориентацию на где внешний вектор нормали к

Существование формы удовлетворяющей формуле Стокса (11.7), следует из аддитивности отображения относительно области: если то

(ориентация границ согласована: в точках пересечения имеют противоположные ориентации). Поэтому интеграл является разновидностью меры относительно и значение можно восстановить, переходя к пределу в формуле Стокса (11.7), когда подмногообразие стягивается в точку

Напомним некоторые основные свойства внешнего дифференциала. Во-первых, из формулы Стокса следует линейность оператора Далее, если диффеоморфизм, то

Действительно, если то

поэтому

и равенство (11.8) доказано.

Еще одно фундаментальное свойство внешнего дифференциала выражается равенством

следующим из того, что для любого подмногообразия с границей

Внешний дифференциал является антидифференцированием:

это двойственная формула к формуле границы

Внешний дифференциал вычисляется в локальных координатах следующим образом: если

то

эта формула следует из приведенных выше свойств дифференциальных форм.