2. Остаточный член хронологической экспоненты

Докажем оценку (2.13) остаточного члена для хронологической экспоненты.

Лемма 2. Для любых полного неавтономного векторного поля компакта и целого числа существуют и компакт которых

где

Доказательство. Обозначим компактное множество

и введем функцию

Заметим, что функция измерима, так как верхнюю грань в правой части (4) можно брать по любому счетному всюду плотному подмножеству Более того, в силу неравенств (2.3) и оценки

функция ограничена на отрезке

Так же, как при определении полунорм в параграфе 2.2, зафиксируем собственное вложение и векторные поля порождающие касательные пространства к

Пусть — точка, в которой

достигает своей верхней грани, и пусть есть многочлен степени производные которого порядка не выше в точке совпадают с соответствующими производными а в Тогда

В конечномерном пространстве всех вещественных многочленов степени все нормы эквивалентны, поэтому существует константа не зависящая от выбора многочлена степени для которой

Из неравенств (5) и (6) получаем оценку

Так как

имеем

(по неравенству (7) и определению

Разделив на получаем

следовательно,

откуда по лемме Гронуолла следует, что

Тогда из оценки (7) получаем

и необходимое неравенство (3) доказано для любого компакта

Теперь докажем оценку (2.13).

Доказательство. Разложение (2.11) можно переписать в виде

где

Тогда

(по лемме 2)

Оценим последний интеграл. По определению полунорм (2.2)

и оценка (2.13) доказана:

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)