Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
19.4. Задача быстродействия на SO(3)Рассмотрим твердое тело в
где
есть единичный вектор угловой скорости, соответствующий фиксированной оси вращения в теле. Эта кривая — одноиараметрическая подгруппа в
и очевидно, что управляемость на Чтобы расширить возможности движения в
и предположим, что тело может вращаться вокруг этих осей в определенных направлениях. Получаем систему
управляемую на
Для упрощения обозначений выберем такие векторы
что
Тогда управляемая система записывается как
Мы хотим найти кратчайшее вращение тела, переводящее начальную ориентацию
Так как
Отметим, что
Более того, за счет изменения масштаба времени можно добиться, чтобы
Переходя к овыпуклению, получаем окончательную формулировку задачи:
где По принципу максимума, если пара
более того,
Условие максимума для функции
легко разрешается, если функция переключения
не обращается в нуль в точке
Если функция переключения имеет только изолированные корни на некотором временном отрезке, то соответствующее управление Исследуем структуру оптимальных управлений. Возьмем любую экстремаль, для которой кривая
Тогда дифференциальное уравнение
выполняется при
Исследуем поведение функции переключения
Если функция переключения обращается в нуль:
в точке, где
то соответствующее управление переключается, т. е. изменяет свое значение с В силу равенств (19.48), (19.49) скобка Ли
это следует из свойств векторного произведения в
что
В этом базисе точки переключения принадлежат горизонтальной плоскости Пусть
поэтому
Далее, так как гамильтониан принципа максимума неотрицателен, получаем
Поэтому точка
Пусть
а кривая
Точки переключения
Следовательно,
т.е.
Рис. 19.2. Оценка угла поворота в Легко видеть, что угол поворота в от
(рис. 19.2). Экстремальные значения в достигаются, когда точка
Во втором случае точка
Пусть допускает симметрию
После замены базиса
кривая Поэтому структура релейных оптимальных траекторий довольно проста. Такие траектории содержат некоторое количество точек переключения. Между этими точками переключения вектор Оптимальная траектория может не быть релейной, только если в точке
Тогда
Имеются две возможности: (1) либо функция переключения
для некоторого Начнем с первой возможности. Из анализа релейных траекторий следует, что моменты переключения не могут накапливаться к то справа: угол поворота между двумя последовательными переключениями в
для некоторого Рассмотрим случай (2). Продифференцируем тождество (19.50) дважды по
Тогда
т. е.
Это управление не определяется непосредственно из принципа максимума (мы нашли его с помощью дифференцирования). Такое управление называется особым. Оптимальные траектории, содержащие особую дугу (соответствующую управлению
Семейство таких траекторий параметризовано тремя непрерывными параметрами (углом поворота на соответствующих дугах) и двумя дискретными параметрами (знаками на начальном и конечном отрезках) Итак, мы описали структуру всех возможных оптимальных траекторий: релейных и стратегий с особым участком. Множества точек в Отметим, что структура оптимальных траекторий в этой левоинвариантной задаче быстродействия на
|
1 |
Оглавление
|