Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

19.4. Задача быстродействия на SO(3)

Рассмотрим твердое тело в которое может вращаться вокруг некоторой оси, закрепленной в теле. В каждый момент времени ориентация тела в определяет ортогональное преобразование Мы будем минимизировать длину кривой в соответствующей движению тела. Выберем натуральный параметр (длину дуги) тогда кривая удовлетворяет дифференциальному уравнению

где

есть единичный вектор угловой скорости, соответствующий фиксированной оси вращения в теле. Эта кривая — одноиараметрическая подгруппа в

и очевидно, что управляемость на невозможна.

Чтобы расширить возможности движения в выберем теперь две линейно независимые оси в теле:

и предположим, что тело может вращаться вокруг этих осей в определенных направлениях. Получаем систему

управляемую на

Для упрощения обозначений выберем такие векторы

что

Тогда управляемая система записывается как

Мы хотим найти кратчайшее вращение тела, переводящее начальную ориентацию в конечную конфигурацию Соответствующая задача оптимального управления имеет вид

Так как то эта задача эквивалентна задаче быстродействия:

Отметим, что

Более того, за счет изменения масштаба времени можно добиться, чтобы

Переходя к овыпуклению, получаем окончательную формулировку задачи:

где заданные векторы, удовлетворяющие равенствам (19.48), (19.49). Исследуем эту задачу быстродействия.

По принципу максимума, если пара оптимальна, то существует такая липшицева кривая

более того,

Условие максимума для функции

легко разрешается, если функция переключения

не обращается в нуль в точке Действительно, в этом случае оптимальное управление может принимать только экстремальные значения

Если функция переключения имеет только изолированные корни на некотором временном отрезке, то соответствующее управление принимает на этом отрезке только экстремальные значения. Более того, моменты времени, в которые переключается с одного экстремального значения на другое, изолированы. Такое управление называется релейным.

Исследуем структуру оптимальных управлений. Возьмем любую экстремаль, для которой кривая удовлетворяет начальному условию

Тогда дифференциальное уравнение

выполняется при до тех пор, пока функция переключения остается отличной от нуля. На этом временном отрезке

Исследуем поведение функции переключения Заметим, что ее производные не зависят от управления:

Если функция переключения обращается в нуль:

в точке, где

то соответствующее управление переключается, т. е. изменяет свое значение с на —1 или с —1 на Для того чтобы выяснить, какие последовательности переключений оптимального управления возможны, удобно ввести координаты на алгебре Ли

В силу равенств (19.48), (19.49) скобка Ли удовлетворяет условиям

это следует из свойств векторного произведения в Поэтому можно выбрать такой ортонормированный базис

что

В этом базисе точки переключения принадлежат горизонтальной плоскости

Пусть точка переключения, т. е. есть положительный корень функции Пусть в этой точке управление переключается с на —1 (случай переключения с —1 на +1 полностью аналогичен, мы покажем это ниже). Тогда

поэтому

Далее, так как гамильтониан принципа максимума неотрицателен, получаем

Поэтому точка лежит в первом квадранте плоскости

Пусть следующая после то точка переключения. Управление имеет вид

а кривая между переключениями является дугой окружности, полученной вращением точки вокруг вектора

Точки переключения удовлетворяют равенствам

Следовательно,

т.е. есть отражение относительно плоскости

Рис. 19.2. Оценка угла поворота в

Легко видеть, что угол поворота в от до вокруг ограничен:

(рис. 19.2).

Экстремальные значения в достигаются, когда точка лежит на границе конуса

Во втором случае точка так же, как и точка совершает полный поворот на угол Такая дуга не может быть частью оптимальной траектории: ее можно исключить с уменьшением конечного времени Следовательно, угол между двумя переключениями есть

Пусть следующее после переключение. Поведение управления после переключения на аналогично поведению после Действительно, наша задача быстродействия

допускает симметрию

После замены базиса

кривая сохраняется, но теперь она переключается в точке на —1. Этот случай уже был изучен, поэтому угол поворота от до опять равен в, более того, Следующая точка переключения есть и т.д.

Поэтому структура релейных оптимальных траекторий довольно проста. Такие траектории содержат некоторое количество точек переключения. Между этими точками переключения вектор поворачивается попеременно вокруг векторов а и на угол в постоянный вдоль каждой релейной траектории. Перед первым переключением и после последнего переключения вектор может повернуться соответственно на углы во и Система всех оптимальных релейных траекторий параметризована тремя непрерывными параметрами во, и двумя дискретными параметрами: количеством переключений и начальным управлением

Оптимальная траектория может не быть релейной, только если в точке соответствующей первому неотрицательному корню уравнения выполняются равенства

Тогда

Имеются две возможности:

(1) либо функция переключения принимает ненулевые значения для некоторых и сколь угодно близких к

для некоторого

Начнем с первой возможности. Из анализа релейных траекторий следует, что моменты переключения не могут накапливаться к то справа: угол поворота между двумя последовательными переключениями в Поэтому в случае (1) имеем

для некоторого То есть — момент переключения. Так как то угол поворота до следующей точки переключения есть что неоптимально. Поэтому в случае (1) оптимальных траекторий нет.

Рассмотрим случай (2). Продифференцируем тождество (19.50) дважды по

Тогда поэтому

т. е.

Это управление не определяется непосредственно из принципа максимума (мы нашли его с помощью дифференцирования). Такое управление называется особым.

Оптимальные траектории, содержащие особую дугу (соответствующую управлению могут иметь дугу с перед особой дугой с углом поворота вокруг а меньше такая дуга может быть и после особого участка. Поэтому возможны четыре типа оптимальных траекторий, содержащих особую дугу:

Семейство таких траекторий параметризовано тремя непрерывными параметрами (углом поворота на соответствующих дугах) и двумя дискретными параметрами (знаками на начальном и конечном отрезках)

Итак, мы описали структуру всех возможных оптимальных траекторий: релейных и стратегий с особым участком. Множества точек в достижимых с помощью таких стратегий, трехмерны, и объединение этих множеств покрывает всю группу Но легко видеть, что достаточно длинные траектории, следующие любой из двух стратегий, неоптимальны: эти два множества в пересекаются. Более того, каждая из стратегий пересекается сама с собой. Для того чтобы определить оптимальную траекторию для каждой точки в необходимо исследовать взаимодействие двух стратегий и пересечение траекторий, следующих одной и той же стратегии. Эта интересная задача остается открытой.

Отметим, что структура оптимальных траекторий в этой левоинвариантной задаче быстродействия на похожа на структуру оптимальных траекторий для машины Дубинса (параграф 13.5). Это сходство неслучайно: задачу о машине Дубинса можно сформулировать как левоинвариантную задачу быстродействия на группе изометрий плоскости.

1
Оглавление
email@scask.ru