Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Необходимое условие оптимальности для задач оптимального управления на гладких многообразиях — принцип максимума Понт-рягина (см. гл. 12) — формулируется в терминах симплектической геометрии. В этой главе мы приводим соответствующие определения и необходимые факты. Перед этим напомним некоторые начальные сведения о дифференциальных формах на многообразиях. Цель этой главы — разъяснить основные понятия, а не систематически изложить весь материал, и она не может заменить стандартный учебник. В качестве таких учебников мы можем рекомендовать, например, [137, 139, 148].

11.1. Дифференциальные 1-формы

11.1.1. Линейные формы.

Пусть вещественное линейное пространство конечной размерности Множество линейных форм на т. е. линейных отображений имеет естественную структуру линейного пространства, которое называется сопряженным пространством к и обозначается через Если векторы образуют базис то соответствующий двойственный базис образован ковекторами такими, что

(мы используем угловые скобки для записи значения линейной формы на векторе Поэтому сопряженное пространство имеет ту же размерность, что и исходное:

11.1.2. Кокасательное расслоение.

Пусть гладкое многообразие, его касательное пространство в точке Пространство линейных форм на т. е. сопряженное пространство называется кокасателъным пространством многообразия в точке и обозначается через Объединение всех кокасательных пространств называется кокасателъным расслоением М:

(кокасательные пространства в разных точках не пересекаются). Множество имеет естественную структуру гладкого многообразия размерности где Локальные координаты на получаются из локальных координат на

Пусь координатная окрестность, а

есть локальная система координат. Дифференциалы координатных функций

образуют базис в кокасательном пространстве Двойственный базис в касательном пространстве образован векторами

Любую линейную форму можно разложить по базисным формам:

Поэтому любой ковектор характеризуется координатами точки где приложен ковектор и координатами линейной формы в базисе Отображения вида

задают локальные координаты в кокасате льном расслоении. Поэтому есть -мерное многообразие. Координаты вида называются каноническими координатами на

Если есть гладкое отображение между гладкими многообразиями, то дифференциал

имеет сопряженное отображение

которое задается следующим образом:

Вектор переносится вперед дифференциалом в вектор а ковектор переносится назад в ковектор Поэтому гладкое отображение между многообразиями порождает гладкое отображение между их кокасательными расслоениями.

11.1.3. Дифференциальные 1-формы.

Дифференциальная -форма на есть гладкое отображение

т. е. семейство линейных форм на касательных пространствах гладко зависящее от точки Множество всех

дифференциальных -форм на имеет естественную структуру бесконечномерного линейного пространства, которое обозначается через

Подобно тому, как линейные формы на линейном пространстве являются двойственными объектами к векторам этого пространства, дифференциальные формы на многообразии — двойственные объекты к гладким кривым на многообразии. Спаривание задается интегралом дифференциальной -формы по ориентированной гладкой кривой который определяется следующим образом:

Интеграл -формы по кривой не зависит от сохраняющих ориентацию гладких перепараметризаций кривой и меняет знак при замене ориентации.