Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 14. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ВЫПУКЛЫМИ ГАМИЛЬТОНИАНАМИ

Хорошо известна теорема о том, что если поверхность уровня гамильтониана выпукла, то она содержит периодическую траекторию соответствующей гамильтоновой системы [144, 149]. В этой главе мы докажем более общий результат с помощью теории оптимального управления для линейных систем.

Теорема 14.1. Пусть есть сильно выпуклое компактное подмножество четно, и пусть граница множества является поверхностью уровня гамильтониана

Тогда для любого существует параллельная вектору хорда в через концы которой проходит некоторая траектория гамильтоновой системы

Мы считаем, что на пространстве задана стандартная симплектическая структура

т. е. гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану имеет вид

Теорема о периодических траекториях гамильтоновых систем есть частный случай приведенной выше теоремы при Докажем теорему 14.1.

Доказательство. Не теряя общности, будем считать, что

Рассмотрим поляру множества

Из теоремы отделимости следует, что

а есть сильно выпуклое компактное подмножество

Введем следующую линейную задачу оптимального управления:

Здесь любые точки в достаточно близкие к нулю и такие, что вектор параллелен По теореме Филиппова эта

задача имеет оптимальные решения. Мы используем эти решения для построения искомой траектории гамильтоновой системы на

Зависящий от управления гамильтониан принципа максимума имеет вид

Покажем сначала, что анормальные траектории не могут быть оптимальными. Пусть Тогда присоединенное уравнение есть поэтому

Условие максимума ПМП записывается как

В силу сильной выпуклости поляры имеем

Следовательно, анормальные траектории суть прямые со скоростями, отделенными от нуля. Если взять точки достаточно близкими к нулю, то анормальные траектории не смогут удовлетворить граничным условиям.

Поэтому оптимальные траектории нормальны, и можно положить Нормальный гамильтониан равен

а соответствующая гамильтонова система имеет вид

Нормальный гамильтониан можно записать как

где вектор у удовлетворяет уравнению

Вдоль нормальной траектории

Рассмотрим сначала случай Тогда

т. е. Более того, а вектор есть нормаль к в точке Следовательно, кривая с точностью до перепараметризации является траекторией гамильтонова поля

Граничные условия выполняются:

Поэтому есть искомая траектория: хорда параллельна вектору

Для завершения доказательства покажем, что случай в (14.2) невозможен. Действительно, если то поэтому Если а то не выполняются граничные условия для Если же пара не реализует минимум функционала (14.1), который может принимать отрицательные значения: для любой допустимой -периодической траектории траектория периодична и имеет критерий качества

1
Оглавление
email@scask.ru