6.4. Управляемое твердое тело: орбиты

Предположим, что мы можем управлять вращениями твердого тела, прилагая момент силы вдоль фиксированной прямой в теле. Можно менять направление момента силы на противоположное в любой момент времени.

Запишем управляемую систему для угловой скорости:

тогда полная система для управляемого твердого тела имеет вид

где фиксированный вектор вдоль выбранной прямой.

Мы опишем орбиты и множества достижимости -мерной системы (6.20). Но сначала изучим орбиты -мерной системы (6.19).

6.4.1. Орбиты 3-мерной системы.

Система (6.19) аналитична, поэтому размерность орбиты через точку равна размерности пространства

Введем обозначения для векторных полей:

и вычислим несколько скобок Ли:

Используя свойство (6.17) с получаем три постоянных векторных поля которые линейно независимы:

при

В случае общего положения получаем следующее утверждение. Случай 1.

Предложение 6.1. Пусть Тогда любого Система (6.19) имеет одну -мерную орбиту — пространство

Рассмотрим специальные случаи расположения вектора Случай 2. Пусть Так как плоскость инвариантна для свободного тела (6.12) и то плоскость инвариантна также и для управляемого тела (6.19), т. е. орбита через любую точку плоскости содержится в С другой стороны, из свойства (6.18) получаем

Но векторы образуют базис плоскости поэтому является орбитой через любую точку Итак, плоскость есть орбита системы (6.19). Если начальная точка то траектория системы (6.19) через не плоская; поэтому

Итак, орбита через трехмерна. Мы доказали следующее утверждение.

Предложение 6.2. Пусть Тогда система (6.19) имеет одну -мерную орбиту — плоскость и две -мерные орбиты — связные компоненты

Случай полностью аналогичен рассмотренному, и справедливо аналогичное утверждение с вместо

Случай 3. Пусть теперь т. е. Во-первых, прямая орбита. Действительно, если то также касается прямой

Чтобы найти остальные орбиты, построим интеграл управляемой системы (6.19) из двух интегралов (6.13) свободного тела. Так как мы ищем линейную комбинацию интегралов (6.13), не зависящую от Умножим первый интеграл на вычтем из него второй интеграл, и получим интеграл управляемого твердого тела:

Так как то это — эллиптический цилиндр в

Рис. 6.3. Орбиты в случае

Поэтому любая орбита системы (6.19) содержится в некотором цилиндре (6.21). С другой стороны, орбита через любую точку должна быть по меньшей мере -мерной. Действительно, если свободное тело имеет траектории, не касающиеся поля а если или то этого можно достичь малым смещением точки вдоль поля Поэтому все орбиты вне прямой эллиптические цилиндры (6.21).

Предложение 6.3. Пусть Тогда все орбиты системы (6.19) имеют вид (6.21): имеется одна -мерная орбита — прямая и бесконечное количество -мерных орбит — эллиптических цилиндров (6.21) при

Случай полностью аналогичен случаю 3.

Предложение 6.4. Пусть Тогда система (6.19) имеет одну -мерную орбиту — прямую и бесконечное количество -мерных орбит — эллиптических цилиндров

Случай 4. Рассмотрим последний случай: пусть Как и выше, найдем интеграл управляемой системы (6.19):

При это уравнение задает гиперболический цилиндр. С помощью рассуждения, аналогичного использованному в случае 3, получаем следующее описание орбит.

Предложение 6.5. Пусть Тогда существует одна -мерная орбита — прямая и бесконечное количество -мерных орбит следующего вида:

1) связные компоненты гиперболических цилиндров (6.22) при

2) полуплоскости — связные компоненты множества

Итак, мы рассмотрели все возможные положения вектора и во всех случаях описали орбиты -мерной системы (6.19). Теперь изучим орбиты полной -мерной системы (6.20).

Рис. 6.4. Орбиты в случае

6.4.2. Орбиты 6-мерной системы.

Векторные поля в правой части -мерной системы (6.20) суть

Отметим правило коммутирования векторных полей специального вида, возникающих в нашей задаче:

Вычислим сначала те же скобки Ли, что и в -мерном случае

Далее, для любого векторного поля вида

имеем

Чтобы изучить орбиты -мерной системы (6.20) через точку рассмотрим различные случаи из п. 6.4.1 для -мерной системы (6.19).

Случай Можно выбрать три линейно независимых векторных поля в вида (6.23):

Используя правило коммутирования (6.24), получаем шесть линейно независимых векторов в

Поэтому орбита, проходящая через точку -мерна. Случай

Случай Во-первых, содержит два линейно независимых поля вида (6.23):

Так как траектория свободного тела в через не плоская, можно считать, что вектор линейно независим от Мы покажем ниже, что содержит два векторных поля вида

где векторные поля равны нулю в точке Из этого будет следовать, что содержит шесть линейно независимых векторов:

и потому орбита, проходящая через точку -мерна.

Найдем два векторных поля вида (6.25) в алгебре Выбирая подходящие линейные комбинации с полями спроецируем вторую компоненту полей на прямую В результате получим векторные поля

Если и равны нулю в точке то эти векторные поля можно взять в качестве в (6.25). Если же или не равно нулю в то такие векторные поля можно построить, подбирая линейные комбинации полей (6.26) и с полями Поэтому в случае 2.1 орбита -мерна.

Случай 2.2. . Имеется пять линейно независимых векторов в

Орбита в -мерна, поэтому орбита в -мерна. Случай 3. .

Случай 3.1. . Рассуждаем так же, как в случае 2.1. Можем считать, что векторы линейно независимы. Орбита в -мерна, а ее касательное пространство порождается векторами поэтому в алгебре Ли можно найти векторные поля вида

для некоторых функций Итак, мы нашли пять линейно независимых векторов в пространстве

Поэтому орбита -мерной системы -мерна (она не может быть -мерной, так как -мерная система (6.19) имеет -мерную орбиту). Случай Векторы

линейно независимы, поэтому

Следовательно, орбита -мерна.

Случаи аналогичны случаю 3. Подведем итоги нашего исследования орбит управляемого твердого тела (6.20).

Предложение 6.6. Пусть точка в Если орбита -мерной системы (6.19) через точку или -мерна, то орбита -мерной системы (6.20) через точку есть т. е. соответственно 6- или -мерна. Если то -мерная система имеет -мерную орбиту.

Мы опишем множества достижимости этой системы в параграфе 8.4 после знакомства с некоторыми общими фактами о множествах достижимости.