22.2. Управление твердым телом

Рассмотрим задачу быстродействия для системы, описывающей вращения твердого тела (см. параграф 19.4):

где

Отметим, что в параграфе 19.4 мы предполагали, что а не как сейчас, однако один случай получается из другого делением правой части системы на константу.

Редуцируем систему (22.11). Пространство состояний необходимо профакторизовать по орбитам поля Соответствующее отношение эквивалентности имеет вид

и структура фактор-пространства описана в следующем утверждении.

Предложение 22.1. Фактор-пространство диффеоморфно сфере причем каноническая проекция есть

Здесь есть единичный вектор, соответствующий матрице

Доказательство. Группа транзитивно действует на сфере Подгруппа в оставляющая точку

неподвижной, состоит из вращений вокруг прямой она равна

Поэтому фактор диффеоморфен проекция задается соотношением (22.12), и множества уровня этого отображения совпадают с орбитами поля

Частичная система (22.3) в этом примере имеет вид

а редуцированная система (22.7) есть

Правая часть этой симметричной управляемой системы задает окружность радиуса в касательной плоскости Иными словами, система (22.13) задает риманову метрику на Так как векторные поля в правой части системы (22.13) постоянны по модулю, задача быстродействия эквивалентна римановой задаче (минимизация времени равносильна минимизации длины, если скорость постоянна по модулю).

Экстремальные кривые (геодезические) римановой метрики на дуги больших окружностей, они оптимальны вплоть до полуокружностей. Сопряженные точки для исходной и редуцированной систем одни и те же, поэтому для обеих систем экстремальные кривые оптимальны вплоть до диаметрально противоположных точек.