Глава 20. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

20.1. Гессиан

В этой главе мы получим необходимые условия оптимальности второго порядка для задач управления. Как известно, геометрически исследование оптимальности сводится к изучению границы множеств достижимости (см. параграф 10.2). Рассмотрим управляемую систему

где пространство состояний есть, как обычно, гладкое многообразие, а пространство управляющих параметров открыто (по существу это означает, что мы изучаем оптимальные управления, не выходящие на границу хотя аналогичную теорию для релейных управлений также можно построить).

Множество достижимости системы (20.1) есть образ отображения в конец

Траектория называется геометрически оптимальной для системы (20.1), если она попадает на границу множества достижимости в момент

Необходимые условия для этого включения даются принципом максимума Понтрягина. Часть утверждений ПМП можно рассматривать как условия оптимальности первого порядка (мы увидим это позже). Сейчас же мы хотим найти условия оптимальности второго порядка. Рассмотрим задачу в общей постановке. Пусть

есть гладкое отображение, где открытое подмножество банахова пространства, гладкое n-мерное многообразие (обычно у нас будет пространством допустимых управлений отображением в конец управляемой системы). Первый дифференциал

корректно определен независимо от координат. Для второго дифференциала это не так. Действительно, рассмотрим случай, когда и есть регулярная точка т. е. дифференциал сюръективен. По теореме о неявной функции отображение становится линейным в подходящих координатах в поэтому инвариантно определенного

второго дифференциала нет. В общем случае корректно определенной независимо от координат является только некоторая часть второго дифференциала.

Дифференциал гладкого отображения можно определить с помощью производной первого порядка

вдоль кривой с начальными условиями

В локальных координатах эта производная вычисляется как

В других координатах на производная (20.2) вычисляется как

Координатное представление первой производной (20.2) преобразуется при заменах координат как касательный вектор к М: оно умножается на матрицу Якоби

Вторая производная

вычисляется как

Правило преобразования второй производной по направлению при заменах координат имеет вид

Вторая производная (20.3) преобразуется как касательный вектор в только если т. е. если слагаемое (20.4) обращается в нуль. Более того, она определяется значениями только по модулю подпространства порожденного слагаемым

Поэтому инвариантно определенным является квадратичное отображение

После этого предварительного обсуждения, перейдем к формальным определениям.

Гессиан гладкого отображения в точке и есть билинейное отображение

В частности, в регулярной точке поэтому Гессиан определяется следующим образом. Пусть

Чтобы определить значение

возьмем векторные поля

и функцию

Тогда

Покажем, что правая часть не зависит от выбора Первая производная Ли есть

и вторая производная Ли не зависит от вторых производных а, так как Более того, очевидно, что вторая производная Ли зависит только от значения V в и, но не от производных V в и. Чтобы доказать то же самое для поля покажем, что правая часть определения гессиана симметрична по

так как Мы показали, что отображение заданное равенством (20.7), определено независимо от выбора координат, как это указано в (20.6).

Упражнение 20.1. Покажите, что квадратичное отображение (20.5), определенное с помощью второй производной по направлению, совпадает с

Если разрешить только линейные замены переменных в Ы, возможно определить полный второй дифференциал

так же, как гессиан (20.7), но для произвольного ковектора

и постоянных векторных полей

Гессиан есть часть второго дифференциала, не зависящая от выбора линейной структуры в прообразе.

Упражнение 20.2. Вычислите гессиан ограничения гладкого отображения на поверхность уровня гладкой функции Рассмотрите ограничение гладкого отображения на гладкую гиперповерхность и пусть и регулярная точка Докажите, что гессиан отображения вычисляется следующим образом:

где ковектор нормирован так, что