Глава 1. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ

1.1. Гладкие многообразия

Этот параграф посвящен краткому обзору простейших понятий, связанных с гладкими многообразиями. Для их систематического изучения читатель может обратиться к вводной главе любого учебника по анализу на многообразиях, например [148].

В дальнейшем под гладкостью (многообразия, отображения, векторного поля и т.д.) мы подразумеваем -гладкость.

Определение 1.1. Подмножество называется гладким -мерным подмногообразием если для любой точки существует окрестность в которой задается одним из следующих способов:

1) существует гладкая вектор-функция

такая, что

2) существует гладкая вектор-функция

из окрестности начала координат такая, что

причем

и гомеоморфизм;

3) существует гладкая вектор-функция

на окрестность начала координат такая, что

причем

Упражнение 1.1. Докажите, что способы локального описания гладких подмногообразий взаимно эквивалентны.

Замечания. (1) Существуют два топологически различных одномерных многообразия: прямая и окружность Сфера и тор

двумерные многообразия. Тор можно представлять как сферу с ручкой. Любое компактное ориентируемое двумерное многообразие топологически эквивалентно сфере с ручками,

(2) Гладкие многообразия естественно возникают в простейших задачах анализа. Например, окружность и тор области определения соответственно периодических и дважды периодических функций. Однородные функции трех переменных естественно ограничивать на сферу

Итак, гладкое подмногообразие есть подмножество в которое локально может быть задано регулярной системой гладких уравнений или регулярной гладкой параметризацией.

Несмотря на то, что интуитивно важно представлять многообразия как подмножества евклидова пространства, часто удобно рассматривать многообразия независимо от какого бы то ни было вложения в Абстрактное многообразие определяется следующим образом.

Определение 1.2. Гладким -мерным многообразием называется хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство с заданной на нем гладкой структурой: покрыто системой открытых подмножеств

называемых координатными окрестностями, в каждой из которых определен гомеоморфизм

называемый локальной системой координат, так что все композиции

суть диффеоморфизмы (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Система координат на гладком многообразии

Как правило, мы будем обозначать точку гладкого многообразия через а ее координатное представление в локальной системе координат — через

Гладкое подмногообразие в удовлетворяет определению абстрактного многообразия. Обратно, любое связное гладкое абстрактное многообразие можно рассматривать как гладкое подмногообразие в Для того чтобы сформулировать точно это утверждение, дадим два определения.

Определение 1.3. Пусть соответственно и -мерные гладкие многообразия. Непрерывное отображение

называется гладким, если оно гладко в координатах. А именно, пусть покрытия координатными окрестностями и

— соответствующие координатные отображения. Тогда для гладкости все композиции

должны быть гладкими.

Определение 1.4. Гладкое многообразие называется диффеоморфным гладкому многообразию если существует гомеоморфизм

такой, что как так и его обращение гладкие отображения. Такое отображение называется диффеоморфизмом.

Множество всех диффеоморфизмов гладкого многообразия будем обозначать

Гладкое отображение называется вложением многообразия в если отображение на образ есть диффеоморфизм. Отображение называется собственным, если прообраз компактен для любого компакта (обозначение означает, что К есть компактное подмножество множества

Теорема 1.1 (Уитни). Любое гладкое связное -мерное многообразие имеет собственное вложение в

Итак, можно сказать, что гладкое многообразие — это пространство, выглядящее локально как линейное, но без фиксированной линейной структуры, так что все гладкие системы координат равноправны. Именно язык многообразий, а не линейных пространств, является естественным языком современного нелинейного анализа.