Глава 7. УПРАВЛЕНИЕ КОНФИГУРАЦИЯМИ

В этой главе мы рассмотрим приложения теоремы об орбите к системам, управляемым с помощью изменения их конфигурации, т. е. взаимного расположения частей системы. Хорошо известный пример такой системы — падающая кошка. Если кошка оказывается без опоры над землей (например, падает с дерева или ее бросают), то она начинает вращать хвостом и изгибать свое тело так, чтобы приземлиться точно на лапы независимо от первоначальной ориентации над землей. Менее гибкие механические системы (например, собака или просто твердое тело) так вести себя не могут. Вероятно, именно управление с помощью изменения конфигурации играет ключевую роль в феномене падающей кошки. Мы рассматриваем простую модель систем, управляемых таким образом, и исследуем орбиты в некоторых простейших примерах.

7.1. Модель

Система материальных точек, т. е. распределение массы в описывается неотрицательной мерой на Мы ограничимся мерами с компактным носителем. Например, система точек с массами моделируется атомарной мерой где функция Дирака, сосредоточенная в точке Можно считать точки свободными или связанными некоторыми ограничениями в Более общо, масса может быть распределена вдоль отрезков или поверхностей различных размерностей. Поэтому пространством состояний систем, которые мы будем рассматривать, будет некоторый разумный класс мер на

Предполагается, что управляющий субъект находится внутри конструкции и изменяет ее конфигурацию. Система консервативна, т. е. импульс и кинетический момент сохраняются. Исследуем орбиты систем, подчиненных таким связям.

С математической точки зрения механическая система имеет законы сохранения из-за того, что у нее есть симметрии. Кинетическая энергия рассматриваемой системы равна

в частности, для атомарной меры

Согласно теореме Нётер (см., например, [137]), если поток векторного поля сохраняет функцию Лагранжа то система имеет первый интеграл вида

В нашем случае лагранжиан (7.1) инвариантен относительно изометрий евклидова пространства, т. е. трансляций и вращений в

Трансляции в порождаются постоянными векторными полями

поэтому наша система имеет законы сохранения

Иными словами,

т. е. центр масс системы движется с постоянной скоростью (полный импульс сохраняется). Выберем инерциальную систему отсчета, в которой центр масс неподвижен:

Для атомарной меры это равенство имеет вид

и сводится заменой координат в к закону сохранения

Теперь рассмотрим вращения в Пусть векторное поле

сохраняет евклидову структуру в т. е. его поток

сохраняет скалярное произведение:

Дифференцируя это равенство при получаем

т. е. матрица А кососимметрична:

Обратно, если выполнено предыдущее равенство, то

т. е. матрица ортогональна. Мы доказали, что поток сохраняет евклидову структуру в тогда и только тогда, когда Аналогично -мерному случаю, рассмотренному в параграфе 6.1, группа сохраняющих ориентацию линейных ортогональных преобразований евклидова пространства обозначается через а соответствующая алгебра Ли кососимметрических преобразований обозначается через Таким образом, мы доказали, что

Вернемся к выводу законов сохранения нашей системы материальных точек. Лагранжиан инвариантен относительно вращений в поэтому из теоремы Нётер получаем интегралы вида

Для атомарной меры имеем

и в дальнейшем мы ограничимся простейшим случаем, когда константа в правой части равна нулю.

Итак, имеем следующие законы сохранения для системы материальных точек с массами

Пространством состояний системы является подмножество

а допустимые траектории — гладкие кривые в удовлетворяющие связям (7.3), (7.4). Первое равенство (7.3) задает подмногообразие в конечно, это равенство разрешается относительно любой переменной а, и от него можно легко избавиться, уменьшая размерность Второе равенство (7.4) — линейное ограничение на скорости оно задает распределение на Поэтому условия допустимости (7.3), (7.4) задают линейную по управлениям, потому симметричную управляемую систему на Отметим, что более

общее условие (7.2) задает «аффинное распределение», а управляемая система (7.3), (7.2) аффинна по управлениям, потому, вообще говоря, не симметрична.

Мы рассмотрим только симметричный случай (7.3), (7.4). Тогда орбиты совпадают со множествами достижимости. Найдем орбиты для следующих простых систем:

1) две свободные точки:

2) три свободные точки:

3) ломаная с тремя звеньями в