Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

21.1. Регулярный случай: вывод уравнения Якоби

Предложение 21.1. Пусть регулярная экстремаль, для которой

Тогда квадратичная форма вырождена.

Доказательство. По усиленному условию Лежандра норма

эквивалентна стандартной -норме. Тогда

где компактный оператор в

Сначала докажем, что квадратичная форма неположительна на ядре От противного: предположим, что существует такое

Линейное отображение имеет конечномерный образ, поэтому

Семейство слабо непрерывно по поэтому оператор обратим и

при малых Рассмотрим соответствующее разложение

Тогда слабо при поэтому сильно в силу конечномерности Следовательно, сильно при Далее, так как квадратичные формы непрерывны. Итак, при малых что противоречит определению Мы доказали, что

Теперь покажем, что

С помощью рассуждений, аналогичных использованным при доказательстве предложения 16.2 (при изучении сопряженных точек в линейно-квадратичной задаче), показываем, что функция

удовлетворяет следующим свойствам: не убывает, верхняя грань в (21.2) достигается и непрерывна справа.

Неравенство (21.1) означает, что Если то при малых что противоречит определению Поэтому более того, существует такое

что

Учитывая неположительность квадратичной формы заключаем, что элемент принадлежит ядру квадратичной формы

Предложение 21.1 мотивирует введение следующего важного понятия. Момент называется сопряженным временем (для начального момента вдоль регулярной экстремали если квадратичная форма вырождена. Отметим, что по предложению 20.2 формы отрицательны при малых поэтому малые дуги регулярных экстремалей не содержат сопряженных точек: для них Предложение 21.1 означает, что момент когда квадратичные формы перестают быть отрицательными, является первым сопряженным временем.

Начинаем вывод дифференциального уравнения, позволяющего находить сопряженное время для регулярной экстремальной пары Симплектическое пространство

будет пространством состояний этого уравнения. Введем семейство отображений

В этих обозначениях билинейная форма записывается как

(см. (20.18), (20.19)). Рассмотрим форму на подпространстве

где

есть вертикальное подпространство.

Вариация управления удовлетворяет включению

тогда и только тогда, когда линейная форма аннулирует подпространство Так как вертикальное подпространство По лагранжево, равенство (21.4) можно переписать следующим образом:

есть аннулятор подпространства совпадает со следующим конечномерным пространством линейных форм на

Итак, получаем, что тогда и только тогда, когда форма на принадлежит подпространству (21.5). То есть и только тогда, когда существует такое По, что

Преобразуем равенство форм (21.6):

Это равенство форм означает, что подынтегральные выражения должны совпадать:

Используя кривую в пространстве

равенство форм (21.7) можно переписать следующим образом:

Из усиленного условия Лежандра следует, что линейное отображение

невырождено (мы обозначаем здесь и ниже линейное отображение в сопряженное пространство тем же символом, что и соответствующее квадратичное отображение), поэтому определено обратное отображение

Тогда равенство (21.9) записывается как

Получаем следующее утверждение.

Теорема 21.1. Пусть есть регулярная экстремаль.

Момент является сопряженным временем тогда и только тогда, когда существует непостоянное решение уравнения Якоби

удовлетворяющее граничным условиям

Уравнение Якоби (21.11) есть линейная неавтономная гамильтонова система

с квадратичным гамильтонианом

где квадратичная форма на

Доказательство. Мы уже доказали, что существование равносильно существованию решения уравнения Якоби, удовлетворяющего граничным условиям (21.12).

Если то в силу (21.8). Следовательно, если то В силу (21.3) вторая вариация принимает форму

Но поэтому следовательно, Поэтому ненулевые соответствуют непостоянным и обратно.

Остается доказать, что функция Гамильтона для уравнения Якоби (21.11). Обозначим

Тогда уравнение Якоби записывается как

т. е. мы должны доказать, что

Так как

то получаем

Поэтому равенство (21.14) доказано, как и вся теорема.

1
Оглавление
email@scask.ru