21.1. Регулярный случай: вывод уравнения Якоби

Предложение 21.1. Пусть регулярная экстремаль, для которой

Тогда квадратичная форма вырождена.

Доказательство. По усиленному условию Лежандра норма

эквивалентна стандартной -норме. Тогда

где компактный оператор в

Сначала докажем, что квадратичная форма неположительна на ядре От противного: предположим, что существует такое

Линейное отображение имеет конечномерный образ, поэтому

Семейство слабо непрерывно по поэтому оператор обратим и

при малых Рассмотрим соответствующее разложение

Тогда слабо при поэтому сильно в силу конечномерности Следовательно, сильно при Далее, так как квадратичные формы непрерывны. Итак, при малых что противоречит определению Мы доказали, что

Теперь покажем, что

С помощью рассуждений, аналогичных использованным при доказательстве предложения 16.2 (при изучении сопряженных точек в линейно-квадратичной задаче), показываем, что функция

удовлетворяет следующим свойствам: не убывает, верхняя грань в (21.2) достигается и непрерывна справа.

Неравенство (21.1) означает, что Если то при малых что противоречит определению Поэтому более того, существует такое

что

Учитывая неположительность квадратичной формы заключаем, что элемент принадлежит ядру квадратичной формы

Предложение 21.1 мотивирует введение следующего важного понятия. Момент называется сопряженным временем (для начального момента вдоль регулярной экстремали если квадратичная форма вырождена. Отметим, что по предложению 20.2 формы отрицательны при малых поэтому малые дуги регулярных экстремалей не содержат сопряженных точек: для них Предложение 21.1 означает, что момент когда квадратичные формы перестают быть отрицательными, является первым сопряженным временем.

Начинаем вывод дифференциального уравнения, позволяющего находить сопряженное время для регулярной экстремальной пары Симплектическое пространство

будет пространством состояний этого уравнения. Введем семейство отображений

В этих обозначениях билинейная форма записывается как

(см. (20.18), (20.19)). Рассмотрим форму на подпространстве

где

есть вертикальное подпространство.

Вариация управления удовлетворяет включению

тогда и только тогда, когда линейная форма аннулирует подпространство Так как вертикальное подпространство По лагранжево, равенство (21.4) можно переписать следующим образом:

есть аннулятор подпространства совпадает со следующим конечномерным пространством линейных форм на

Итак, получаем, что тогда и только тогда, когда форма на принадлежит подпространству (21.5). То есть и только тогда, когда существует такое По, что

Преобразуем равенство форм (21.6):

Это равенство форм означает, что подынтегральные выражения должны совпадать:

Используя кривую в пространстве

равенство форм (21.7) можно переписать следующим образом:

Из усиленного условия Лежандра следует, что линейное отображение

невырождено (мы обозначаем здесь и ниже линейное отображение в сопряженное пространство тем же символом, что и соответствующее квадратичное отображение), поэтому определено обратное отображение

Тогда равенство (21.9) записывается как

Получаем следующее утверждение.

Теорема 21.1. Пусть есть регулярная экстремаль.

Момент является сопряженным временем тогда и только тогда, когда существует непостоянное решение уравнения Якоби

удовлетворяющее граничным условиям

Уравнение Якоби (21.11) есть линейная неавтономная гамильтонова система

с квадратичным гамильтонианом

где квадратичная форма на

Доказательство. Мы уже доказали, что существование равносильно существованию решения уравнения Якоби, удовлетворяющего граничным условиям (21.12).

Если то в силу (21.8). Следовательно, если то В силу (21.3) вторая вариация принимает форму

Но поэтому следовательно, Поэтому ненулевые соответствуют непостоянным и обратно.

Остается доказать, что функция Гамильтона для уравнения Якоби (21.11). Обозначим

Тогда уравнение Якоби записывается как

т. е. мы должны доказать, что

Так как

то получаем

Поэтому равенство (21.14) доказано, как и вся теорема.