Глава 13. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
В этой главе мы применим принцип максимума Понтрягина для решения конкретных задач оптимального управления.
13.1. Скорейшая остановка поезда на станции
Рассмотрим поезд, движущийся по железной дороге. Задача состоит в том, чтобы привести поезд на станцию и остановить его там за кратчайшее время.
Положение поезда описывается действительной координатой 
начало отсчета 
соответствует станции. Будем считать, что поезд движется без трения, а мы управляем ускорением поезда, прикладывая ограниченную по модулю силу. Подберем единицы измерения так, чтобы максимальное по модулю ускорение было единичным. Получаем управляемую систему
или, в стандартной форме,
Для этой системы имеем задачу быстродействия
Покажем, что теорема Филиппова гарантирует существование оптимальных управлений. Пространство управляющих параметров 
компактно, векторные поля в правой части
линейны, а множество допустимых скоростей в точке
выпукло. По следствию 10.2 задача быстродействия имеет решение, если начало координат 
достижимо из начальной точки 
Мы покажем ниже, что любую точку 
можно соединить с началом координат некоторой экстремальной кривой.
Применим принцип максимума Понтрягина. Введем канонические координаты на кокасательном расслоении:
Зависящий от управления гамильтониан ПМП равен
а соответствующая гамильтонова система имеет вид
В координатах эта система распадается на две независимые подсистемы:
Согласно принципу максимума, если управление 
оптимально по быстродействию, то гамильтонова система имеет нетривиальное решение 
для которого
Из условия максимума заключаем, что если 
Заметим, что максимизированный гамильтониан
негладок. Поэтому предложение 12.1 неприменимо, но мы сможем описать оптимальные управления непосредственно из принципа максимума, без предварительной максимизации гамильтониана. Так как
то функция 
линейна:
поэтому оптимальное управление имеет вид
Следовательно, 
кусочно постоянно, принимает только экстремальные значения ±1 и имеет не более одного переключения (точки разрыва).
Отыщем все траектории 
соответствующие таким управлениям и приходящие в нуль. Для управлений 
первая из подсистем (13.4) принимает форму
Траектории этой системы удовлетворяют уравнению
это параболы вида
Найдем сначала траектории из этого семейства, приходящие в нуль без переключений: это две полу параболы
для 
соответственно.
Теперь отыщем все экстремальные траектории с одним переключением. Пусть 
есть точка переключения любой из кривых (13.5), (13.6). Тогда экстремальные траектории с одним 
Рис. 13.1. Оптимальный синтез в задаче (13.1)-(13.3)
реключением, приходящие в начало координат, имеют вид
Легко видеть, что через любую точку 
плоскости проходит единственная кривая вида 
Итак, для любой точки плоскости существует единственная экстремальная траектория, переводящая эту точку в нуль. Так как оптимальные траектории существуют, заключаем, что найденные решения оптимальны. Общий вид оптимального синтеза изображен на рис. 13.1.
