94. Сепарабельность.
Метрическое пространство X, содержащее бесчисленное множество элементов, называется сепарабельным, если существует счетное множество элементов
плотное в X, т. е. для любого
и любого
имеется такой элемент
из упомянутого множества, что
Выше мы доказали сепарабельность
. В пространстве С упомянутое счетное множество есть, например, множество всех полиномов с рациональными коэффициентами. В пространстве
таким множеством является множество элементов
у которого все числа
рациональны или (в случае комплексного пространства) имеют вид
где
— вещественные рациональные числа.
В пространстве
это множество есть множество элементов вида
причем все
рациональные числа.
Покажем, что пространство
не сепарабельно. Рассмотрим множество U различных элементов
из
таких, что числа
равны или нулю или единице. Считая, что
есть
знак после запятой у числа, написанного по системе счисления с основанием два, мы видим, что множество U несчетно. Принимая во внимание сказанное в [1], легко видеть, что оно имеет мощность континуума. Для любых двух различных элементов
и у из U имеем
Пусть пространство
сепарабельно, т. е. имеется счетное множество
элементов
, плотное в
сферы с центром
и радиусом Множество этих сфер счетно, и, по крайней мере, в одной из них принадлежит более одного элемента U. Пусть у и
-различные элементы U, находящиеся в одной из указанных сфер. Мы имеем:
что противоречит
и несепарабельность
доказана.
Теорема. Всякое множество U элементов сепарабельного пространства X сепарабельно.
Нам надо доказать существование конечного или счетного множества элементов U, плотного в U. В силу сепарабельности
имеется счетное множество
элементов X, плотное в X. Через
обозначим сферу с центром
и радиусом
. Рассмотрим сферы
и, если какая-либо из этих