ПРЕДИСЛОВИЕ

В связи с успехами в исследовании и использовании космического пространства давно известные точные решения классической задачи трех тел — точки либрации привлекают к себе все большее и большее внимание.

Настоящая книга посвящена подробному исследованию устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел и элементам теории движения вблизи точек либрации. Вспомогательную, хотя и значительную, часть книги составляет изложение теории устойчивости гамильтоновых систем.

В основу книги положен ряд опубликованных работ [53—67] автора. Использованы также некоторые результаты других авторов.

Многие научные вопросы, затронутые в книге, неоднократно обсуждались с В. А. Сарычевым, В. В. Белецким, А. Д. Брюно. Живое и доброжелательное участие В. В. Белецкого во многом способствовало самому появлению этой книги. Названным ученым автор глубоко благодарен.

А. Маркеев

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время в связи с интенсивным изучением и освоением космического пространства значительно возрос интерес к знаменитой классической задаче трех тел (точек), движущихся под действием их взаимного гравитационного притяжения. Так как эта задача в общем виде неинтегрируема, то большой интерес преставляет изучение ее частных решений. В 1767 году Л. Эйлер [124] обратил внимание на то, что задача трех тел имеет три частных решения, для которых гравитирующие точки во все время движения расположены на одной прямой. Через пять лет, в 1772 г., Ж. Лагранж показал [148], что существуют еще два частных решения, соответствующие таким движениям, для которых три тела образуют равносторонний треугольник. Для пяти этих частных решений притягивающие тела движутся по подобным орбитам относительно своего барицентра, образуя во все время движения неизменную конфигурацию.

Задача трех тел в случае притяжения, определяемого ньютоновским законом, наиболее важна для космодинамики. Важнейшей разновидностью этой задачи является так называемая ограниченная задача трех тел, когда предполагается, что одно из тел имеет бесконечно малую массу следовательно, не оказывает влияния на движение двух других тел (с массами В ограниченной задаче трех тел конечные массы движутся по кеплеровским орбитам, определяемым задачей двух тел. Со многих точек зрения удобно изучать движение в системе координат, связанной В этой вращающейся системе координат упомянутым выше пяти точным решениям задачи трех тел соответствуют точки — положения равновесия. Точки, лежащие на прямой, проходящей через обозначают а точки, образующие равносторонние треугольники с телами обозначают через

Гравитационное и центробежное ускорения, воздействующие на тело, помещенное в уравновешиваются. Поэтому, если тело бесконечно малой массы поместить в с нулевой (во вращающейся системе координат) скоростью, то оно останется неподвижным. Точки часто называют точками либрации или либрационными центрами. Треугольные точки либрации, кроме того, иногда

называют лагранжевыми точками либрации или лагранжееыми периодическими решениями задачи трех тел.

Сначала, сразу после обнаружения точек либрации, казалось, что они представляют только теоретический интерес. Но открытие в 1906 году группы астероидов, движущихся в окрестности лагранжевых точек либрации системы Солнце — Юпитер, показало большую практическую ценность точек либрация для изучения движений космических тел в Солнечной системе. С тех пор точки либрации стали предметом пристального внимания в связи с необходимостью построения теории движения астероидов вблизи точек либрации и

В совсем недавнее время интерес к точкам либрации чрезвычайно возрос в связи с практическими потребностями космических исследований. Существуют проекты запуска искусственных спутников в окрестности точек либрации Солнечной системы и, в первую очередь, системы Земля — Луна. Все чаще подчеркивается важность необычных динамических свойств точек либрации с астродинамической, геофизической и эксплуатационной точек зрения. Точки либрации все больше привлекают внимание инженеров в связи с возможными интересными практическими их применениями: для связи с Луной, встречи в окрестности Луны и планет, межпланетных перевозок, исследований магнитосферы Земли и для многих других целей.

В проблеме происхождения и эволюции Земли, Солнца и планет точки либрации тоже имеют большое значение. Так называемые «малые тела», интересующие ученых в связи с решением космологических вопросов, могут накапливаться в точках либрации. Так, например, в 1961 году появилось сообщение [100], принадлежащее Кордылевскому, об открытии «тусклых облакоподобных спутников» в окрестности треугольной точки либрации системы Земля — Луна. Затем было опубликовано сообщение [101] об открытии такого же облака вблизи

Задача о точках либрации имеет и самостоятельный общемеханический и математический интерес. Многочисленные исследования показали, что сами точки либрации и характер движений в их окрестности очень тесно связаны с общим характером движения в задаче трех тел, что крайне важно, так как в общем виде задача трех тел не проинтегрирована. С общетеоретической точки зрения важность задачи о точках либрации ограниченной задачи трех тел подчеркивается еще тем, что при решении ряда труднейших принципиальных вопросов о точках либрации были созданы новые качественные, аналитические и численные методы исследования сложных нелинейных гамильтоновых систем, которые применимы и применяются во многих других задачах механики и математики.

По-видимому, самыми важными вопросами небесной механики в задаче о точках либрации являются вопросы об устойчивости

самих точек либрации и о существовании, устойчивости и методах построения периодических (и условно-периодических) орбит в их окрестности. Некоторые из этих вопросов и смежные с ними задачи рассмотрены в настоящей криге. Книга содержит 14 глав и Дополнение.

Глава 1 является вводной. Здесь выводятся уравнения движения ограниченной задачи трех тел, во вращающейся системе координат находятся точки либрации и проводится анализ их устойчивости в линейном приближении. Изложение этих вопросов мало отличается от традиционного. В этой же главе даны таблицы, определяющие положение точек либрации в Солнечной системе, и приведены графики некоторых величин, характеризующих положение точек либрации при произвольных значениях параметра .

Во второй — пятой главах рассмотрены задачи теории гамильтоновых систем и ее приложений. Вторая глава посвящена линейным гамильтоновым системам. Приводятся результаты Ляпунова об устойчивости линейных гамильтоновых систем с постоянными или периодическими коэффициентами. Для устойчивых систем в случае простых корней характеристического уравнения строятся конструктивные алгоритмы приведения системы к нормальным координатам. Тут же приводится теорема Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем и рассматривается задача о параметрическом резонансе в гамильтоновых системах, содержащих малые периодические возмущения. В последнем параграфе второй главы получены области параметрического резонанса в первом приближении по малому параметру и приведены необходимые расчетные формулы.

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и -периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахшпева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так и резонансный случаи (когда характеристические показатели таковы, что число будет целым при произвольном целом Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости.

В главе 4 исследована устойчивость автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Здесь основное внимание

уделяется тем критическим случаям, когда неприменима известная теорема Арнольда — Мозера [72]. В случае разонансов третьего и четвертого порядков (когда частоты линеаризованной системы связаны соотношениями соответственно) получены условия устойчивости и неустойчивости. При отсутствии резонансов до порядка включительно получено утверждение об устойчивости, обобщающее теорему Арнольда — Мозера на случай, когда при учете в разложении функции Гамильтона членов до порядка в системе имеется вырождение, снимаемое учетом членов о порядка. Здесь же в четвертой главе рассмотрена задача об устойчивости в случае кратных частот Получены условия неустойчивости и формальной устойчивости. В конце главы приведены расчетные формулы, необходимые для применения полученных результатов в конкретных механических задачах.

Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых систем. Здесь для -периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при помощи теоремы Четаева о неустойчивости доказаны утверждения о неустойчивости при наличии резонансов третьего и четвертого порядков и рассмотрены различные аспекты задачи об устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда по устойчивости для большинства начальных данных, формулируется и доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости гамильтоновых систем, рассматриваются основные результаты исследований Нехорошева об оценке скорости диффузии Арнольда [78—81] в многомерных гамильтоновых системах, близких к интегрируемым.

Для практического применения полученных результатов нужно иметь эффективные способы нахождения нормальной формы функции Гамильтона. Нахождение нормальной формы в неавтономном случае особенно затруднено. Если, например, воспользоваться классическим преобразованием Биркгофа, то для нахождения соответствующей производящей функции придется строить периодические решения некоторой системы дифференциальных уравнений. Необходимые при этом вычисления весьма громоздки.

В главе 6 предлагается способ нормализации, отличный от классического и основанный на применении к -периодической по гамильтоновой системе метода точечных отображений. При нахождении точечного отображения используется тот факт, что преобразование фазового пространства, осуществляемое движениями гамильтоновой системы, является каноническим и находится не само отображение, а его производящая функция удовлетворяющая уравнению Гамильтона — Якоби. При нахождении коэффициентов производящей функции, конечно, нужно проинтегрировать от до некоторую систему обыкновенных

дифференциальных уравнений, но с фиксированными (нулевыми) начальными условиями. После получения функции вводятся такие координаты, в которых она записывается в простейшей (нормальной) форме. А затем по нормальной форме функции находится нормальная форма соответствующей функции Гамильтона.

В главе 6 также рассмотрены резонансные случаи в для резонансов третьего и четвертого порядков доказаны утверждения о неустойчивости неподвижных точек точечных отображений, задаваемых периодическими по времени гамильтоновыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательства основаны на перенесенной здесь на точечные отображения теореме Четаева о неустойчивости.

В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра при которых имеет место неустойчивость. Эти значения соответствуют резонансам между частотами линейной системы.

В конце главы 7 рассмотрена устойчивость точек либрации при критическом отношении масс Рауса. Для этого отношения масс характеристическое уравнение линейной системы имеет чисто мнимые кратные корни, а точки либрации в линейном приближении неустойчивы. Строгий нелинейный анализ показал, что имеет место формальная устойчивость.

Глава 8 посвящена исследованию треугольных точек либрации в пространственной круговой задаче. Доказано, что при всех значениях из области устойчивости в линейном приближении имеет место устойчивость для большинства начальных условий, за исключением двух значений для которых в главе 7 доказана неустойчивость. Кроме того, доказано, что для почти всех значений из области устойчивости в линейном приближении точки либрации в пространственной круговой задаче формально устойчивы. В заключение главы показана формальная устойчивость треугольных точек либрации при критическом отношении масс Рауса.

В главе 9 рассмотрена плоская эллиптическая задача. Здесь задача чрезвычайно усложняется, так как независимая переменная явно входит в уравнения движения. Первые исследования устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче

трех тел принадлежат Ляпунову [48]. Он рассматривал задачу в линейном приближении. Многочисленные позднейшие исследования многих авторов также связаны только с линейной задачей.

В главе 9 задача устойчивости рассмотрена в строгой нелинейной постановке. Исследование проводится как аналитическими (при малых значениях эксцентриситета ), так и численными (при произвольных параметрах методами. В области устойчивости в линейном приближении, полученной впервые Дэнби [110], выделены кривые, на которых выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Для значений параметров принадлежащих этим кривым, показаны либо неустойчивость, либо устойчивость в конечном (но достаточно высоком) нелинейном приближении. При значениях параметров, не принадлежащих этим кривым (а иногда еще и кривым, на которых выполнены резонансные соотношения пятого и шестого порядков), доказаны устойчивость для большинства начальных условий и формальная устойчивость.

Самым сложным в задаче об устойчивости треугольных точек либрации является случай пространственной эллиптической задачи. Он исследуется в главе 10. Помимо увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна характерная только для этой задачи особенность: имеет место тождественный (при всех резонанс из-за равенства периода кеплеровского движения основных притягивающих тел и периода линейных колебаний тела бесконечно малой массы по направлению, перпендикулярному плоскости их орбиты.

Полученные в главах 3—5 условия устойчивости и неустойчивости здесь неприменимы. Требуется особое исследование, которое в главе 10 проводится при помощи второго метода Ляпунова. Результаты этого исследования применяются при аналитическом и численном анализе устойчивости.

Для достаточно малых значений получена область неустойчивости. Она является очень узкой областью. В плоскости одной из ее границ является ось а другой — кривая, мало отличающая от параболы При произвольных проводится численное исследование. Новые области неустойчивости не обнаружены.

Глава 11 содержит изложение основ метода Депри — Хори в теории возмущений гамильтоновых систем. В настоящее время на русском языке нет еще достаточно подробного описания этого метода. Разработанный сравнительно недавно [113, 142], он имеет значительные преимущества перед широко известными классическими методами, такими как, например, преобразование Биркгофа [7] или метод Цейпеля [9]. Практическое построение канонических преобразований в методе Депри — Хори основано на использовании рядов Ли и преобразовании Ли. Для ясности изложения

в главе 11 сначала рассматриваются ряды Ли и их некоторые свойства, а затем излагается сам метод и его упрощение, осуществленное Кэмилом [143, 144]. В конце главы кратко описана формальная техника применения метода Депри — Хори.

В главе 12 подробно исследуются периодические движения, близкие к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Существование рассматриваемых периодических движений следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле [22, 49]. Во введении к главе 12 дана краткая история исследований, связанных с построением и анализом устойчивости периодических движений, близких к треугольным точкам либрации. Затем предлагается новый способ их построения и алгоритм исследования их орбитальной устойчивости. Подробно рассмотрены различные резонансные ситуации, возникающие в задаче об устойчивости. В последнем параграфе главы 12 приведены результаты численного исследования устойчивости периодических движений.

Глава 13 посвященачисленному и аналитическому исследованию движения вблизи треугольных точек либрации системы Земля-Луна с учетом гравитационных солнечных возмущений. Сначала излагаются результаты численного анализа, проведенного в работах Тэпли, Льюэллена и Шульца [176, 177] и связанного с рассмотрением влияния солнечных возмущений на движение тела бесконечно малой массы, помещенного в точку ели вблизи нее с нулевой или малой относительной скоростью. Оказывается, что солнечные возмущения приводят к значительным (доходящим до 190 000 км) отклонениям тела бесконечно малой массы от точки либрации. В главе 13 приведено большое количество графиков, наглядно иллюстрирующих влияние солнечных возмущений и их зависимость от начальных условий.

Остальная часть главы 13 посвящена рассмотрению задачи о существовании и устойчивости периодических движений вблизи с учетом солнечных возмущений. Изложение опирается в основном на аналитические исследования, проведенные Брэквилом и Принглем [106], Шехтером [170] и Кэмилом [144]. Показано, что во вращающейся системе координат существуют устойчивые периодические орбиты; их форма близка к эллипсу с полуосями и а период движения приблизительно равен синодическому месяцу (29,53 сут).

В главе 14 изложены основы теории пассивного движения космического аппарата в окрестности прямолинейной точки либрации системы Земля-Луна. Сначала дается подробный вывод уравнений движения в виде, удобном для применения асимптотических методов исследования, приводятся оценки сил, действующих на космический аппарат, и находятся амплитуды вынужденных колебаний космического аппарата вблизи обусловленных

гравитационными солнечными возмущениями и силами светового давления. Затем в качестве модели для описания движения космического аппарата принимается пространственная эллиптическая ограниченная задача трех тел Земля — Луна — космический аппарат и при помощи преобразования Биркгофа с использованием метода малого параметра построена приближенная теория движения космического аппарата вблизи Формулы этой теории применены затем в задаче, учитывающей влияние Солнца. В последнем параграфе главы 14 даны оценки точности построенной теории.

В Дополнении на основе работ Ю. В. Батракова [6], В. К. Абалакина [1] и С. Г. Журавлева [25, 184, 185] рассмотрены точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида.