§ 7. Резонансы

При исследовании устойчивости особыми являются такие значения параметра при которых возможны резонансы первого (ляпуновское условие существования периодического движения), второго (порождающие точки для параметрического резонанса), третьего и четвертого (порождающие точки для резонансов, проявляющихся в нелинейной задаче) порядков. В общем виде такие резонансы можно записать следующим образом:

где порядок резонанса, любое целое число при номер периодического движения (соответственно I, II или III типа). Резонансное соотношение (7.1) перепишем в виде

где целые числа, с точностью до знака равные числам из (7.1), а находятся из уравнения (4.3) главы 7:

Здесь введено обозначение В интересующей нас области выполняются неравенства а

При решении вопроса о том, какие из резонансов (7.2) надо учитывать для полного исследования устойчивости движений в многомерных гамильтоновых системах, полезно руководствоваться следующими двумя соображениями:

1) в конкретной задаче частоты линейной системы зависят от параметров известным образом и, следовательно, в рассматриваемой области параметров на них наложены какие-то ограничения; поэтому из всех резонансов (7.2) надо отобрать только принципиально возможные;

2) структура функции Гамильтона в конкретной задаче часто такова, что некоторые из принципиально возможных резонансов, не проявляются в процессе нормализации функции Гамильтона следовательно, рассматривать их не имеет смысла.

В рассматриваемой здесь задаче для решения вопроса о принципиальной возможности резонанса (7.2) разрешим уравнение (7.2) относительно и получим

а в плоской задаче

Тогда из всех резонансов (7.2) принципиально возможными будут только такие, для которых хотя бы одна из величин (7.5) (или величина (7.6) для плоской задачи), подсчитанная по данным будет заключена в интервале

Далее, функция Гамильтона является четной относительно пространственных переменных Это означает, что из всех принципиально возможных резонансов имеет смысл рассматривать только такие, для которых величина четна.

Все резонансы, проявляющиеся в исследуемых задачах 1а), 16), 2а), 26) и 3), приведены в табл. 10—14. При рассмотрении периодических движений I (или II) типа в пространственной задаче

Таблица 10

плоская задача

надо учитывать как резонансы из табл. 11 (или 13), так и резонансы из табл. 10 (или 12). В первом столбце этих пяти таблиц выписан порядок резонанса, во втором — явное выражение резонансного соотношения через частоты в третьем — значение параметра соответствующее этому резонансу и вычисленное по формуле (7.5) или (7.6), в четвертом столбце указана та форма в которой первый раз проявляется этот резонанс, а в

Таблица 11 (см. скан) пространственная задача

Таблица 12 (см. скан) плоская задача

пятом — порядок по в котором обнаруживается эффект данного резонанса (см. §§ 8—10).

Для исследования устойчивости в строгом нелинейном смысле при нерезонансных значениях параметров (как это будет видно.

(кликните для просмотра скана)

в § 10) достаточно учитывать в разложении функции Гамильтона (4.2) члены до четвертого порядка включительно.

Из табл. 10, 11 и 14 видно, что для полного решения задачи (т. е. и при резонансных значениях параметров) об устойчивости периодических движений I и III типов достаточно учесть конечное число членов разложения гамильтониана (члены в задаче 1а), члены в задаче 1б) и члены Я в задаче Как видно из табл. 12, 13, в задачах 2а), 2б) число резонансов счетно (точкой накопления резонансов на оси является точка Это означает, что никакого конечного числа членов разложения функции Гамильтона недостаточно для окончательного решения задачи об устойчивости периодических движений II типа. Однако даже на основании анализа конечного числа членов разложения гамильтониана можно сделать достаточно полные выводы об устойчивости и неустойчивости в резонансных случаях (см. § 11). Мы ограничимся рассмотрением в функции Гамильтона (4.2) членов до включительно.