§ 3. Теорема Арнольда-Мозера об устойчивости гамильтоновой системы с одной степенвю свободы в общем эллиптическом случае

Рассмотрим гамильтонову систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть начало координат является положением равновесия этой системы, а функция Гамильтона аналитическая в окрестности -периодична по

В (3.2) - целые неотрицательные числа, непрерывные функции

Рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия Предположим, что линеаризованная система устойчива,

а ее характеристические показатели таковы, что величина не будет целым числом при произвольное целое число). Тогда при помощи преобразования Биркгофа можно выбрать такие координаты и импульсы х, у, что функция Гамильтона (3.2) запишется в виде

Здесь аналитическая относительно х, у функция, имеющая поя, у порядок, не меньший, чем Кроме того, -периодична по

Общим эллиптическим случаем называют случай, когда среди постоянных есть отличная от нуля. Согласно Арнольду и Мозеру [2, 3, 72], в общем эллиптическом случае положение равновесия системы (3.1) устойчиво по Ляпунову.

Если число будет целым, то, вообще говоря, функцию Гамильтона (3.2) в виде (3.3) записать нельзя, а положение равновесия может быть неустойчивым. Ниже будет исследована задача об устойчивости в резонансных случаях, когда число целое при к 3. Многие частные случаи неустойчивости в этой задаче рассмотрены в работах Леви-Чивита [151], Зигеля [28], Мермана [71], Каменкова [31], Мустахишева [74]. Основной результат проведенного в этой главе исследования состоит в утверждении об устойчивости (при выполнении некоторого неравенства) в случае резонансов четного порядка (число к — четное). Кроме того, при помощи второго метода Ляпунова получены критерии неустойчивости при резонансах произвольного порядка. При изложении мы в основном следуем работе [53].