§ 9. Резонансные кривые третьего и четвертого порядков

Пусть теперь параметры задачи таковы, что имеет место устойчивость рассматриваемого периодического движения (5.15) в линейном приближении. Тогда, проведя нормализацию линейной системы указанным в § 8 способом, функцию Гамильтона (6.4) можно привести к виду

где имеет вид (8.19), а

Здесь точками обозначены члены более высокого порядка относительно (или относительно величин из § 8).

Для выяснения вопроса об устойчивости в строгом (нелинейном) смысле процесс нормализации функции Гамильтона надо продолжить.

При нелинейной нормализации гамильтониана (9.1) могут проявиться эффекты резонансов третьего и четвертого порядков

где произвольное целое число, определены формулами (8.4) и (8.20). Если рассматривается плоская задача, то будем считать

Прежде чем перейти к описанию процесса нелинейной нормализации, заметим, что в плоскости параметров соотношение (9.4) представляет собой уравнение резонансной кривой, исходящей из

точки оси Величина является корнем уравнения

Эту же величину можно найти из табл. 10—14.

Уравнение резонансной кривой (9.4) будем искать в виде (8.22). Тогда, подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23), а затем получившиеся выражения подставляя в уравнение (9.4) и приравнивая члены одинакового порядка по найдем коэффициенты разложения в ряд по малому параметру

Величина уже найдена; вычисления показывают, что величина равна нулю, а взличина определяется соотношением

Члены более высокого порядка по в (8.22) лишь незначительно деформируют квадратичную параболу и в дальнейшем не рассматриваются.