§ 2. Ряды Ли как каноническое преобразование

Наряду с исходной канонической системой дифференциальных уравнений, задаваемой функцией Гамильтона (1.1), рассмотрим вспомогательную каноническую систему

где произвольная достаточно гладкая функция.

Пусть при Обозначим решение системы (2.1) при через

Произвольная функция от в силу соотношений (2.2) становится некоторой функцией от а также от

Здесь и далее в настоящем параграфе чертой обозначается результат замены переменных, осуществляемой согласно формулам (2.2). Так как функции в (2.2) являются решениями гамильтоновой системы (2.1), то преобразование (2.2) будет каноническим [16]. Мы ограничимся рассмотрением случая малых значений Понятие ряда Ли вытекает из решения задачи Коши

где аналитическая функция своих аргументов в окрестности точки Решение задачи (2.4) при дается рядом Ли [139]

сходящимся при достаточно малом 8. Здесь оператор Ли

Если система уравнений (2.4) имеет вид (2.1), то результат применения оператора к функции запишется так:

где скобка Пауссона

Выражение (2.7) называется производной Ли функции порожденной функцией а оператор оператором Ли.

Имеют место следующие, легко проверяемые свойства оператора

Используя (2.9), нетрудно доказать свойства степеней оператора Ли:

Здесь

Пусть функции аналитические. Тогда очевидно, что при достаточно малом ряд

будет сходящимся. Легко проверить, что имеют место следующие

свойства оператора

Каноническое преобразование (2.2) при помощи ряда Ли запишется в виде

Преобразование, обратное (2.14), получается, очевидно, заменой знака на обратный или, что то же самое, изменением на обратный знака функции Таким образом, имеем

Важным достоинством ряда Ли является то, что он позволяет не только получить преобразование (2.14), но и произвольную функцию от решения. Для любой аналитической функции справедливо следующее соотношение:

В самом деле, очевидно, что

где -мерный вектор, -мерный вектор, компонента которого равна

Продифференцировав (2.14) по получим

Из соотношений (2.17) и (2.18) следует, что

Аналогично подсчитывается, что

или

Следовательно, разложение функции в ряд Тейлора относительно дает соотношения

Формула (2.16) доказана.

Пусть теперь функция зависит от и при малых представима в виде ряда

Тогда при каноническом преобразовании (2.14)

Соотношение (2.22) легко получить, заметив, что, согласно (2.16)

Подставив затем (2.23) в (2.21) и приведя подобные члены, получим представление (2.22).

§ 3. О теории возмущений Депри

В этом параграфе получим общие соотношения, лежащие в основе теории возмущений, разработанной Депри в статье [113]. В методе Депри используется преобразование Ли, которое может быхь определено посредством системы дифференциальных уравнений

с такими начальными условиями при

Здесь исходные координаты и импульсы, координаты и и пульсы, полученные после преобразования (х, X, у,

-мерные векторы) остаточная функция, преобразованный и первоначальный гамильтонианы, производящая функция преобразования Ли (она отличается от производящих функций классических способов канонических преобразований, таких, например, как способ Биркгофа или Цейпеля), независимая переменная, постоянный малый параметр, переменный малый параметр

Убедимся непосредственно, что преобразование является каноническим. Действительно, имеют место соотношения

Из этих соотношений следует, что приращения вызванные приращениями удовлетворяют равенству

Из этого соотношения следует, что величина не зависит от и равна своему значению, вычисленному при Отсюда получаем

Следовательно, если х и X удовлетворяют системе канонических уравнений

то система уравнений для у и также будет иметь каноническую форму

Когда функция не зависит от система уравнений (3.1) порождает ряды Ли (см. § 2); если же зависит от то по терминологии введенной Депри [113], система уравнений (3.1)

порождает преобразование Ли. Таким образом, можно сказать, что ряды Ли представляют собой частный случай преобразования Ли.

Пусть теперь произвольная бесконечно дифференцируемая функция, представимая в виде ряда

где

Подставив в (3.6) выражения переменных через получаемые при помощи преобразования Ли, представим функцию в виде ряда

где

и

Отметим, что .

Покажем, как по набору функций разложения (3.6) построить набор функций входящих в разложение (3.7). Используя уравнения (3.1), перепишем соотношение (3.8) в виде

где оператор Ли, определяемый скобкой Пуассона

Положив в равным и используя (3.1), получим

где

Пусть теперь функция представима в виде ряда

а функция снова имеет вид (3.6). Тогда, как легко проверить, соотношение (3.9) перепишется в следующей форме:

где

Вообще, для можно получить, что

где

Положив в последнем соотношении получим следующее рекуррентное соотношение, называемое в [143, 1441 уравнением Депри:

где

В уравнении Депри

Следовательно, уравнение Депри позволяет выразить функции через функции входящие в разложение (3.6). Процедуру вычислений очень удобно представить на треугольнике (см. рис. 20).

Например,

Рис. 20. треугольник (рекуррентное преобразование функции при помощи преобразования Ли).

Аналогичные вычисления для функций иллюстрируются на рис. 21.

Обратное преобразование можно записать в таком виде:

Чтобы найти связь между исключим из величины и и определим функции при помощи следующих соотношений:

Функции можно представить так:

Из равенств (3.22)-(3.25) получаем соотношения, позволяющие установить очень простую связь коэффициентов прямого и обратного преобразований:

Рис. 21. (см. скан) Треугольники для вычисления коэффициентов гамильтониана и остаточной функции