ГЛАВА 13. О ДВИЖЕНИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ-ЛУНА С УЧЕТОМ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 1. Влияние солнечных возмущений на движение космического аппарата, помещенного в точку либрации

В предыдущей главе была рассмотрена задача о периодических движениях, близких треугольным точкам либрации ограниченной задачи трех тел. Однако для многих реально существующих систем задача трех тел является лишь некоторым приближением. В конкретных астрономических задачах часто необходимо учитывать еще возмущающие воздействия, обусловленные теми или иными факторами, не учитываемыми в ограниченной задаче трех тел.

Так, например, при описании движения космического аппарата (КА) вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна следует в качестве возмущений учитывать гравитационное воздействие Солнца. При исследовании движения вблизи треугольных точек либрации с учетом солнечных возмущений важно получить ответ на следующие три вопроса: 1) будет ли КА, помещенный в точку или оставаться вблизи этих точек длительное время, 2) какова природа движения КА за время порядка нескольких лет, 3) существуют ли в окрестности точек либрации устойчивые орбиты? Ответы на эти вопросы важны как в задачах небесной механики и астрономии, так и в задачах использования точек либрации в космических исследованиях.

Исследование влияния гравитационного возмущения Солнца на движение КА вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна проводилось численно и аналитически. Основные результаты в этой задаче получены в работах американских ученых. Подробную библиографию этих работ можно найти в монографии Себехея [175], статье Стега и де Ври [173] и работе де Ври [178].

В этом параграфе излагаются результаты исследований Тэшга, Льюэллена и Шульца [176, 177], касающиеся анализа влияния солнечных возмущений на движение КА, помещенного в точку либрации или вблизи нее. Исследования [176, 177] основаны на численном интегрировании точных уравнений движения. Применение численного анализа необходимо из-за того, что попытки изучить движение КА посредством формальных методов теории

возмущений, примененных к сложной системе дифференциальных уравнений движения вблизи оказались безуспешными. Дело в том, что один из периодов линейных колебаний невозмущенного Солнцем КА вблизи почти равен синодическому месяцу (равному 29,53 сут), а солнечные возмущения также содержат одну из гармоник с периодом, близким синодическому месяцу [178]. Отмеченная соизмеримость приводит к появлению малых знаменателей во многих членах предполагаемого решения, представленного в виде ряда.

Рис. 27. Системы координат для описания движения космического аппарата вблизи

Это не позволяет ограничиться в искомых рядах разумным конечным числом членов.

Системы координат, использованные в работах [176, 177] при численном исследовании движения вблизи изображены на рис. 27. Предполагается, что Земля и Луна движутся по круговым орбитам относительно их центра масс О, который относительно Солнца движется также по круговой орбите. Плоскость орбит Земли и Луны наклонена к плоскости эклиптики под постоянным углом Каждое из тел считается материальной точкой.

Система координат связана с центром масс Земли и Луны. Ось направлена в точку весеннего равноденствия, ось лежит в плоскости движения Земли и Луны, а ось направлена по вектору их угловой скорости. Вращающаяся система координат также связана с центром масс Земли и Луны, ее ось О? направлена вдоль линии, соединяющей Землю и Луну, ось лежит в плоскости орбиты Земли и Луны, а ось совпадает с осью Плоскость вращается вокруг оси О с той же угловой скоростью со, как и линия Земля — Луна.

Система координат имеет своим началом точку либрации и получается из системы координат параллельным переносом. Имеют место формулы

где константы, являющиеся координатами точки либрации В статье Тэпли и Льюэллена [176] получены следующие

уравнения движения КА в системе координат

где - угловая скорость движения центра масс Земли и Луны вокруг Солнца, универсальная гравитационная постоянная, индексы 1, 2 и 3 относятся к Земле, Луне и Солнцу соответственно. Точкой в уравнениях (1.2) обозначено дифференцирование по времени.

Во вращающейся системе координат положения Земли и Луны фиксированы и координаты Солнца вычисляются по формулам

Здесь расстояние между Солнцем и центром масс Земли и Луны, наклонение плоскости орбит Земли и Луны к плоскости эклиптики.

Угловые положения Солнца и линии Земля — Луна по отношению к точке весеннего равноденствия задаются соответственно величинами Угол отсчитывается в плоскости орбит Земли и Луны, а угол в плоскости эклиптики. Соотношения, определяющие и 0, имеют вид

где начальные значения углов и 0.

При проведении численных расчетов были использованы следующие значения для постоянных задачи:

и расстояние между Землей и Луной принималось равным При этих значениях постоянных расчетная угловая скорость со системы координат равна

Результаты численного интегрирования уравнений движения (1.2) представлены на рис. 28 — 39. Точки на этих рисунках разделяют интервалы в один синодический месяц. На рис. 28 и 29 показана проекция на плоскость траектории КА за период времени в 2500 сут. В начальный момент времени КА помещен в точку либрации с нулевой относительной скоростью, а Солнце лежит на линии Земля — Луна, т. е. на рис. Рис. 28, а - г показывают, что с течением времени КА все дальше и дальше уходит от точки либрации. Но эта тенденция меняется на обратную примерно через 850 сут от момента начала движения. Из рис. видно, что постепенное приближение КА к точке либрации происходит вплоть до момента времени, равного приблизительно 1460 сут. С этого момента в движении КА наблюдается тенденция к удалению от точки либрации. Интересно отметить, что минимальное расстояние КА от равно при этом приблизительно 24 000 км, а достигнутое ранее (в момент времени, приблизительно равный 850 сут) наибольшее удаление КА от равно примерно 190 000 км. Рис. 29, д - з показывают, что удаление КА от происходит до момента времени, приблизительно равного 2260 сут. С этого момента вновь начинается постепенное приближэние КА к Из приведенных численных результатов следует, что на интервале времени в 2500 сут тенденция КА к сближению и удалению от меняется с периодом, равным приблизительно 1400 сут или 4 годам. Максимальное удаление КА от равно 190 000 км, причем из рис. и 29, а видно, что при достижении этого расстояния КА движется по почти замкнутой орбите с периодом, близким одному синодическому месяцу.

На рис. 30 и 31 представлены зависимости величин смещения и скорости от времени. В обеих зависимостях, в отличие от рис. 28 и 29, учитываются -компоненты вектора смещения и вектора скорости, так что Видно, что ординаты огибающих кривых сначала возрастают, а затем (примерно после 850 сут) убывают. Таким образом, включение -компоненты в величины не изменяет отмеченного выше характера движения: КА приближается к точке либрации и удаляется от нее с периодом, приблизительно равным 4 годам.

Интересной задачей является задача выбора такого начального положения КА и его скорости, а также начального положения Солнца, чтобы траектория движения была в некотором смысле «наилучшей», т. е. важно так определить начальные условия, чтобы на заданном интервале времени отклонение КА от точки либрации было наименьшим. Никакой общей] теории по этому вопросу нет. В работах [176, 177] приведены результаты отдельных

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

численных экспериментов. Сначала, следуя [177], рассмотрим влияние начального положения Солнца.

На рис. 32 и 33 изображена проекция на плоскость траектории КА, помещенного в точку либрации с нулевой относительной скоростью, но в начальный момент угол между вектором Солнца Я и линией Земля — Луна равен 45°.

Рис. 30. Расстояние КА от в зависимости от времени движения

Рис. 31. Зависимость относительной скорости КА от времени движения

Интересно отметить, что КА довольно долго находится ближе к точке либрации, чем в случае На рис. 32, а — в представлено движение на интервале времени в 750 сут. Наибольшее удаление КА от

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

точки либрации за это время равняется приблизительно в то время как при за это же время оно было равно примерно Отсюда ясно, что начальное положение Солнца имеет заметное влияние, во всяком случае, на начальную фазу движения КА.

Рис. 33. Траектория КА, помещенного в точку с нулевой относительной скоростью, в случае

После 750 сут КА продолжает постепенно удаляться от точки либрации и его максимальное удаление составляет примерно 175 000 км. Это происходит в момент времени, равный приблизительно 1540 сут. Затем КА постепенно приближается к точке либрации. В момент времени, равный 2330 сут, расстояние от КА до минимально и равно примерно 20 000 км. Затем КА снова удаляется от точки либрации. Интересно заметить, что и максимальное, и минимальное расстояния КА от при меньше аналогичных величин при Интересно также, что при период времени между максимальным и

(кликните для просмотра скана)

минимальным удалениями КА от равен около 790 сут и близок к периоду, который был в случае

На рис. 34 — 37 проекция на плоскость траектории движения КА, помещенного в начальный момент времени в точку либрации с нулевой относительной скоростью, показана для случаев В каждом случае Траектории показаны для интервала времени в 250 сут. Аналогичные траектории для представлены на рис. 28, а и 32, а соответственно. Из сравнения траекторий различных можно сделать заключение, что на интервале в 250 сут величина отклонения КА от точки либрации при меньше, чем при других значениях

Эти значения отличаются на 180°, и траектории движения КА похожи друг на друга.

Также очень похожи траектории движения при

Рис. 38. Траектория смещенного в начальный момент относительно

Теперь приведем результаты работы [176], касающиеся численного исследования влияния на движение его начального положения и начальной относительной скорости. На рис. 38 для интервала времени в 250 сут показана проекция траектории движения КА на плоскость начинающаяся из точки, не совпадающей с Для показанной на рис. 38 траектории в начальный момент относительная скорость равна нулю. Принято также Сравнение рис. 28, а и рис. 38 показывает, что начальное смещение КА приводит к «более неустойчивому» движению.

Рис. 39 демонстрирует существенную зависимость отклонении: КА от точки либрации в зависимости от направления его начальной относительной скорости. Принято, что в начальный момент КА помещен в точку либрации и имеет начальную скорости Но вектор скорости для траекторий, изображенных на рис. 39, имеет в начальный момент различное направление. На рис. он составляет с осью углы 60, 150°, 240° и 330° соответственно. Сравнение траекторий, представленных на рис. 39, показывает, что к «наиболее устойчивому» движению приводят такие начальные условия, когда вектор относительной скорости КА составляет с осью угол 330°.

Из приведенных результатов численных экспериментов нельзя сделать каких-либо строгих общих выводов о характере движения КА вблизи треугольных точек либрации с учетом солнечных

(кликните для просмотра скана)

возмущений. Однако очевидно, что влияние Солнца заставляет КА. значительно отклоняться от точки либрации. В течение 2500 сут КА, помещенный в начальный момент в точку либрации с нулевой относительной скоростью, может двигаться таким образом, что огибающая расстояния от КА до имеет максимум и минимум Характер полученных результатов наводит на предположение, что огибающая ведет себя аналогичным образом и для значительно большего интервала времени, чем 2500 сут. Из полученных результатов ясно также, что начальное положение Солнца, начальное положение КА и направление его относительной начальной скорости оказывают решающее влияние на его последующее движение.

В заключение параграфа отметим, что некоторым исследованиям влияния Солнца на движение КА вблизи посвящен цикл работ Лукьянова [43 — 47].