ГЛАВА 7. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ

§ 1. Функция Гамильтона задачи трех тел

Рассмотрим три материальных тела (точки), взаимно притягивающиеся по закону Ньютона. Как и в главе 1, будем интересоваться частным случаем задачи трех тел — случаем ограниченной задачи.

В главе 1 получены пять точек либрации ограниченной задачи трех тел и в случае круговой задачи исследована их устойчивость в первом линейном приближении. Показано, что прямолинейные точки либрации неустойчивы в линейном приближении, так как соответствующие им характеристические уравнения имеют корни с положительными вещественными частями. Отсюда следует неустойчивость точек либрации и в строгой нелинейной постановке. Треугольные точки либрации в линейном приближении устойчивы только при достаточно малом отношении масс основных притягивающих тел более точно, при выполнении неравенств (3.1) главы 1.

В этой и последующих главах излагается решение задачи об устойчивости треугольных точек либрации в следующих случаях ограниченной задачи трех тел: 1) плоском круговом, 2) пространственном круговом, 3) плоском эллиптическом, 4) пространственном эллиптическом.

Получим выражение для функции Гамильтона задачи трех тел. Движение будем рассматривать в координатах Нехвила с истинной аномалией кеплеровского движения тел в качестве независимой переменной. Единицы измерения выберем такими, чтобы сумма масс тел расстояние между ними и постоянная тяготения равнялись единице. Уравнения движения запишутся в виде соотношений (1.10) главы 1. Эти уравнения могут быть записаны как уравнения Лагранжа второго рода с функцией Лагранжа вида

Штрих в (1.1) означает дифференцирование по Введя обобщенные импульсы

и проведя затем несложные выкладки, получим такое выражение для функции Гамильтона: