§ 3. Устойчивость при резонансе w1 = 3w2

Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия системы (1.1) при наличии резонанса четвертого порядка Эта задача изучена в работах [53, 55].

Выпишем сначала нужные для решения задачи об устойчивости коэффициенты при членах четвертого порядка в гамильтониане (2.3):

где

При помощи преобразования Биркгофа в гамильтониане (2.3) можно уничтожить все члены третьей степени, а из членов четвертой степени останутся резонансные и содержащие только произведения Нормализованная до членов четвертого порядка функция Гамильтона будет иметь следующий вид:

Величины вещественны, можно записать в виде

Формулы для расчета коэффициентов нормальной формы (3.3) через коэффициенты исходного гамильтониана (2.1) таковы:

Выражения для и приведены в предыдущем параграфе. Отметим, что формулы (3.5) выписаны специально для случая резонанса Выражения для при произвольных и можно найти, например, в [37] или [55].

Пусть Произведя тогда канонические преобразования (2.8) и (2.9), где теперь

получим нормализованный гамильтониан в полярных координатах

Введем обозначения

Теорема. Если гамильтониан возмущенного движения таков, что то положение равновесия неустойчиво, если же то имеет место устойчивость по Ляпунову.

Для доказательства неустойчивости, как и в предыдущем параграфе, рассмотрим движение на уровне При достаточно малых из уравнения получаем

где функция имеет период по Уравнения движения на уровне имеют вид

где

В переменных гамильтониан К имеет вид

где имеет период по Чтобы показать неустойчивость при выполнении неравенства воспользуемся теоремой Ляпунова о неустойчивости. В рассматриваемом случае вопрос разрешается функцией

Вычисляя производную этой функции в силу уравнений движения с гамильтонианом (3.9), получаем

При выполнении неравенства функция (3.11), очевидно» будет знакоопределенной. А так как функция Ляпунова V — знакопеременная, то отсюда и следует неустойчивость.

Пусть теперь Докажем устойчивость положения равновесия при выполнении этого неравенства. В тривиальном случае устойчивость следует из теоремы Арнольда — Мозера, так как нормализованная до членов четвертого порядка функция Гамильтона (3.7) при не содержит тригонометрических членов, а условие означает выполнение неравенства (1.4). Случай более сложен. Для доказательства устойчивости снова используем интеграл и сведем систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, но с -периодической зависимостью новой функции Гамильтона от новой независимой переменной. В отличие от задачи о неустойчивости, здесь недостаточно рассмотрения только одного уровня энергии (например, как было в рассмотренных выше случаях). В задаче об устойчивости необходимо рассматривать хотя и малый, но конечный интервал изменения постоянной в окрестности нуля. Поэтому функция Гамильтона системы с одной степенью свободы, к которой редуцируется исходная система с двумя степенями свободы, будет зависеть от величины как от параметра. Предполагая, что движение изучается в достаточно малой окрестности начала координат , будем считать малой величиной, порядок которой не меньше, чем, например, Тогда, разрешая уравнение относительно получим

где

Функция и имеет период по и новой независим мой переменной Если ввести вместо угол то гамильтониан К полученной системы с одной степенью свободы

запишется в виде

Очевидно, что знаки коэффициентов а и можно считать одинаковыми. Сделаем замену переменных со при помощи производящей функции

где эллиптические интегралы, к — их модуль. Гамильтониан К примет вид

где функция и имеет период по Кроме того, функция аналитична по всем переменным в области

где — некоторые малые положительные числа.

К системе с гамильтонианом (3.14) применим теорему Мозера об инвариантных кривых, аналогично тому, как это было в системе с гамильтоьианом (6.12) в третьей главе. В нашем случае, правда, «возмущающая» часть функции Гамильтона (3.14) зависит еще от малого параметра Но теорема Мозера все равно применима при рассмотрении окрестности начала координат, для которой где не зависит от если достаточно малая величина [12, 72]. Так как в малой окрестности начала координат инвариантные кривые существуют при всех достаточно малых значениях постоянной интеграла то отсюда следует, что положение равновесия изучаемой системы (1.1) устойчиво по Ляпунову.