§ 3. Нормальная форма функции Гамильтона

После проведения линейной нормализации функция Гамильтона примет вид

В этой формуле для краткости введено обозначение

суммирование происходит по целым неотрицательным числам сумма которых равна трем или четырем, а многоточием обозначены члены пятого и более высоких порядков относительно При этом для всех одночленов число равно 0, 2 или 4, функции -периодические по а их разложения в ряды Фурье содержат первые и вторые гармоники с коэффициентами, пропорциональными соответственно первой и второй степеням эксцентриситета.

Нормализация членов третьей и четвертой степеней в производится стандартным путем при помощи преобразования Биркгофа. Если число не будет целым при целых сумма модулей которых не больше трех, то члены третьей степени в можно исключить полностью.

Отметим, что так как в функцию (3.1) пространственные переменные входят только в четной степени, то число 3, входящее в выражение для таково, что равен нулю или двум. Если то внутри области устойчивости в первом приближении может быть целым числом на резонансных кривых третьего порядка, которые соответствуют плоской задаче трех тел. Эти кривые представлены на рис. 14.

Если же то в силу того, что число будет целым лишь тогда, когда либо либо будут целыми числами. Но это невозможно, так как при всех внутри области устойчивости в первом приближении (см. формулы для в § 7 гл. 9). Таким образом, члены третьей степени в функции Гамильтона (3.1) можно уничтожить, если параметры не

принадлежат резонансным кривым третьего порядка, представленным на рис. 14, и, следовательно, наличие резонанса в членах третьего порядка не проявится.

Обозначая через новые канонические переменные, вводимые преобразованием Биркгофа при уничтожении членов третьей степени, получаем, что функция Гамильтона в новых переменных будет иметь вид

Здесь суммирование по происходит для неотрицательных целых чисел сумма которых равна четырем, -периодические функции в которые первые и вторые гармоники входят снова с коэффициентами, пропорциональными соответственно. Кроме того, входят в члены четвертой степени функции (3.2) только в следующих четырех случаях:

Теперь при помощи преобразования Биркгофа упростим члены 4-й степени в функции Гамильтона. Для удобства введем комплексно сопряженные канонические переменные по формулам

функция (3.2) в новых переменных примет вид

Величины входят в члены четвертой степени в четырех случаях: . К функции удобно применить преобразование Биркгофа. Если число

не будет целым, то соответствующие члены четвертой степени могут быть исключены. Число будет целым на кривых резонансов четвертого порядка, обнаруживающихся уже в плоской эллиптической задаче трех тел. Они представлены на рис. 14. Если параметры не принадлежат этим кривым, то все члены четвертой степени в не содержащие (для них , можно уничтожить, кроме трех, которые зависят от произведений и Но коэффициенты при них можно сделать постоянными.

Рассмотрим теперь одночлены четвертой степени в содержащие В этом случае из-за того, что имеет место резонанс

кроме трех одночленов, зависящих от произведений нельзя уничтожить еще восемь одночленов, содержащих либо только либо и произведения или Таким образом, если параметры ей не принадлежат кривым резонансов третьего или четвертого порядка, то в нормальной форме функции Гамильтона будет содержаться четырнадцать членов четвертого порядка. В табл. 9 приведены значения соответствующих им показателей степеней Пусть канонические переменные, введенные преобразованием Биркгофа при упрощении членов четвертой степени.

Таблица 9

Если теперь перейти к вещественным «полярным» координатам по формулам

то получим такое выражение для нормализованной до членов четвертого порядка функции Гамильтона:

где Н -периодична по угловым переменным и имеет пятый порядок относительно В функции Гамильтона (3.4) введены обозначения

Величины не зависят от и аналитичны по при достаточно малом его значении. Коэффициенты при вычислены в зависимости от в [63, 111] и приведены в седьмой и восьмой главах. При малых в них возникает поправка порядка Коэффициенты при имеют порядок порядок равны нулю.