§ 8. Линейная нормализация. Параметрический резонанс

В этом параграфе исследуется устойчивость линейной системы с функцией Гамильтона (6.5).

Прежде всего заметим, что в линейной системе возможен параметрический резонанс

где произвольное ненулевое целое число. Из табл. 10 —14 видно, что в нашей задаче параметрический резонанс комбинационного типа (т. е. когда не встречается. Поэтому соотношение (8.1) можно переписать так:

Теперь опишем процедуру нормализации квадратичной части функции Гамильтона (6.4).

Функцию Гамильтона (6.5) линеаризованной системы представим в виде

а частоту периодического движения (6.3) для дальнейших вычислений удобнее переписать следующим образом:

В (8.3) функция не зависит от и имеет вид

а функции имеют нулевой порядок относительно являются -периодическими функциями и записываются через конечные ряды синусов и косинусов целых кратностей величины причем максимальная кратность не превышает Эти функции выражаются через функции с помощью соотношений

Для приведения функции (8.3) к нормальной форме необходимо сначала провести ее нормализацию по переменным этого перейдем к новой независимой переменной Эта операция сводится к делению функции (8.3) на Функция Гамильтона, описывающая изменение переменных будет вычисляться по формуле

где а функции обладают всеми перечисленными выше свойствами функций и вычисляются по ним при помощи рекуррентных соотношений

Функция Гамильтона (8.6) соответствует неавтономной канонической системе с двумя степенями свободы.

Нормализацию функции Гамильтона (8.6) можно провести обычным способом, например, используя алгоритм, аналогичный алгоритму Биркгофа, или используя алгоритм Депри — Хори. При этом на каждом шаге нормализации формы приходится решать системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Однако в нашем случае функция Гамильтона содержит «время» только через комбинации Это позволяет нормализацию неавтономной канонической системы с функцией Гамильтона (8.6) свести к нормализации автономной системы (но уже с тремя степенями свободы).

Для этого прежде всего заметим, что для нормализуемой неавтономной функции Гамильтона (8.6) операторное уравнение (5.4) в обозначениях этого параграфа принимает вид

где

В (8.8) - члены степени относительно в разложениях производящей функции искомого преобразования и новой функции Гамильтона в ряды по малому параметру Функции определяются по формулам, аналогичным (5.7).

Однако процедуру решения уравнений (8.8) можно представить в несколько ином виде. Введем фиктивные переменные по формулам

После такой подстановки «время» в функцию Гамильтона (8.6) явно входить не будет. Это следует из того, что в функцию (6.5) величины входят только в виде комбинаций (8.10), а в частоте (8.4) параметр можно заменить на выражение Получившаяся функция Гамильтона будет иметь вид

где значок означает, что в соответствующих функциях величины исключены при помощи подстановки (8.10). В (8.12) , а функция определена ниже. Отметим, что действия оператора из § 6 и оператора «V взаимно противоположны и, таким образом, по функциям из (5.11) можно сразу же получить функции по которым с помощью (8.7) определяются функции Для этого надо только в функциях сделать формальную замену

Производящую функцию искомого, линейного относительно нормализующего преобразования и новую функцию Гамильтона будем искать в виде (8.11). Используя правило дифференцирования сложных функций, оператор перепишем в виде

Из (8.13) видно, что действие оператора на произвольную функцию переменных можно представить при помощи скобки Пуассона

где

Нужные в дальнейшем формы из (8.11) имеют вид

где формы определены в (5.11) (теперь первый индекс в означает степень этих форм относительно

Операторное уравнение для определения форм из разложений производящей функции и нормальной формы новой функции Гамильтона будет иметь вид

где

а функции вычисляются по функциям

с помощью формул, аналогичных формулам (5.7), в которых операторы надо заменить на операторы действие которых на произвольную функцию переменных описывается соотношениями

Таким образом, вместо неавтономной системы с функцией Гамильтона (8.6) можно нормализовать автономную систему (но с числом степеней свободы, на единицу большим) с функцией Гамильтона (8.11). При этом предлагаемая здесь процедура нормализации будет отличаться от обычной нормализации автономной системы с тремя степенями свободы в окрестности положения равновесия только тем, что при вычислении скобок Пуассона в величинах (5.7), а также при получении явного вида (5.9) рассматриваемого преобразования надо проводить дифференцирование не по всем переменным а только по переменным

В функцию Гамильтона (8.11) члены входят только квадратичным образом Поэтому помешать нормализации могут только резонансы вида (8.2).

Пусть выполнено резонансное соотношение (8.2). Тогда нормальная форма функции Гамильтона (8.11) будет такой:

где

В (8.14) величины являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований, а где квадратные скобки обозначают операцию вычисления целой части числа.

Замена осуществляется формулам, аналогичным формулам (5.9), в которых операторы надо заменить на операторы получаемые по функциям Из вида этих операторов также следует, что фиктивные переменные после проведенной нормализации не изменились.

Сделаем теперь преобразование, обратное к (8.10), возвратимся к старой независимой переменной и зададим еще преобразование по формулам

где

Тогда, вместе с описанным выше преобразованием переменных получим каноническое преобразование, нормализующее функцию (8.3) по всем переменным. В резонансном случае нормальная форма будет такой:

а в нерезонансном —

В (8.18) и (8.19) введены обозначения

Рассмотрим случай параметрического резонанса. Из точек на оси для которых выполнено соотношение (8.2), при малых значениях параметра будут исходить области параметрического резонанса (области неустойчивости линейной системы с гамильтонианом Согласно [97] (см. также главу 2), границы областей параметрического резонанса в наших обозначениях запишутся так:

При этом, если левая часть последнего соотношения будет меньше правой, то рассматриваемое периодическое движение будет неустойчиво, а если больше, то имеет место устойчивость в линейном приближении.

В плоскости параметров уравнения кривых, выделяющих области параметрического резонанса, будем искать в виде рядов

Величины представим в виде рядов по степеням отклонений от порождающей точки оси

Подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23), а затем получившиеся выражения подставляя в уравнение границы области параметрического резонанса (8.21) и приравнивая члены одинакового порядка по (до членов включительно), найдем коэффициенты разложения по параметру

где

В (8.24) - (8.26) знаки «±» означают, что даются уравнения сразу двух границ области параметрического резонанса.