§ 4. Решение задачи об устойчивости точек либрации для значений параметра «мю» из области устойчивости в первом приближении

Рассмотрим случай плоской круговой задачи трех тел. Гамильтониан возмущенного движения записывается в виде разложения (3.1), в котором надо положить Таким образом, получаем динамическую систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой не содержит явно времени. Пусть значение параметра удовлетворяет условию (2.2) устойчивости треугольных точек либрации в первом приближении. При строгом исследовании устойчивости будем применять результаты теории автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. главу 4) и докажем следующее утверждение [56].

Теорема. В области устойчивости в линейном приближении (2.2) треугольные точки либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел устойчивы по Ляпунову при всех значениях кроме двух значений

при которых имеет место неустойчивость.

Для доказательства необходимо получить нормальную форму гамильтониана (3.1) и по свойствам нормальной формы сделать выводы об устойчивости и неустойчивости. Прежде всего надо провести нормализацию гамильтониана соответствующего линейной системе. Согласно главе 2, задача линейной нормализации сводится к некоторым несложным алгебраическим операциям над коэффициентами гамильтониана После их проведения получаем

линейное каноническое нормализующее преобразование в таком виде:

В (4.2) введены следующие обозначения:

Частоты удовлетворяют уравнению

Если теперь еще ввести канонические переменные по формулам

то гамильтониан запишется в виде

Следует отметить, что линейное нормализующее преобразование определяется функцией неоднозначно. В работе [106], например, преобразование, аналогичное (4.2), найдено в другой форме.

Дальнейшую (нелинейную) нормализацию можно проводить различными способами, например, при помощи классического преобразования Биркгофа или способом, разработанным в работе [112], или каким-либо другим путем.

Нормальная форма будет различной в зависимости от того, есть резонансные соотношения между или нет. В области (2.2) устойчивости линейной задачи условие отсутствия резонансов до четвертого порядка включительно

нарушается в двух случаях: при При имеет место резонанс третьего порядка

а при резонанс четвертого порядка

Рассмотрим сначала нерезонансный случай, предположим, что Тогда нормализованная до членов четвертого порядка функция Гамильтона будет иметь такой вид:

Коэффициенты получены Депри в статье [111]. Они имеют вид

Согласно Арнольду и Мозеру (см. главу 4) при выполнении неравенства имеет место устойчивость по Ляпунову. При помощи (4.6) в статье [111] получено такое выражение для

Рассматривая числитель выражения для как биквадратный многочлен относительно произведения частот и используя уравнение (4.3), легко получить [111], что обращается в нуль только при одном значении из интервала (2.2):

На рис. 6 представлены график функций зависимости (

Таким образом, применив в рассматриваемой задаче результаты Арнольда и Мозера по теории гамильтоновых систем, Депри показали [111], что треугольные точки либрации устойчивы при всех из области (2.2), кроме, быть может, трех значений , при которых неприменима теорема

Рассмотрим устойчивость при этих трех исключительных значениях параметра При нормализованная до членов третьего порядка функций Гамильтона имеет вид [56, 63]

где Так как то, согласно § 2 главы 4, имеет место неустойчивость.

При нормализованная функция Гамильтона такова:

где Имеем

Так как то, согласно § 3 главы 4, имеет место неустойчивость.

Рис. 6. Коэффициенты нормализованного гамильтониана плоской задачи и условие устойчивости

Теперь рассмотрим устойчивость при Это нерезонансный случай. Для решения задачи об устойчивости здесь необходимо произвести нормализацию гамильтониана до членов выше четвертого порядка, так как члены до четвертого порядка включительно вопроса об устойчивости не решают. Здесь надо применить теорему об устойчивости, приведенную в § 5 гл. 4.

Оказалось [56], что для решения вопроса об устойчивости при достаточно учесть в гамильтониане члены не выше шестого порядка. При этом в нормализованной до членов шестого порядка включительно функции Гамильтона коэффициенты имеют такие числовые значения (нормализация проводилась на ЭВМ):

Для этих значений коэффициентов выполняются неравенства

Поэтому при имеет место устойчивость.

Проведенные рассмотрения показывают справедливость сформулированной в начале параграфа теоремы об устойчивости треугольных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел.