§ 5. Нормализация гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами

Рассмотрим снова систему (1.1) с непрерывной периодической матрицей Согласно теореме Ляпунова система (1.1) приводима. Соответствующая замена переменных может быть записана в виде (3.11). Но замена переменных, приводящая систему (1.1) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей неоднозначно. В этом параграфе построен алгоритм отыскания линейного вещественного, -периодического по канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (1.1) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели системы (1.1) — чисто мнимые, а все мультипликаторы различны. Черта обозначает комплексно сопряженную величину.

Как и в случае, когда в системе (1.1) матрица постоянна, мы называем нормальной формой системы (1.1) такую систему уравнений с постоянными коэффициентами, которой соответствует

функция Гамильтона вида (2.1). Задача нормализации линейных канонических систем с периодическими коэффициентами исчерпывающе изучена в работах [109, 157, 179—182]. Показано, что нормализующее преобразование можно выбрать вещественным и -периодическим по Для в [53] показано, как практически получить такое преобразование. Теперь рассмотрим, следуя [54], задачу нормализации для произвольного Результаты представим так, чтобы их было удобно применять при решении конкретных механических задач.

Пусть фундаментальная матрица — решение системы (1.1). Нормализующее преобразование

представим как последовательность двух замен переменных

здесь В — диагональная матрица, у которой элементы определены равенствами Матрица С имеет вид (2.6).

Преобразование (5.2) приводит систему (1.1) к диагональной форме

После применения преобразования (5.3) система уравнений (5.4) приобретает нормальную форму с функцией Гамильтона (2.1). Постоянную матрицу А в формуле (5.2) подберем так, чтобы преобразование (5.1) было вещественным, унивалентным, каноническим -периодическим по

Преобразование (5.3), как нетрудно проверить, является каноническим с валентностью Кроме того, матрицы симплектические. Для это показано в § 4, а симплектичность очевидна. Таким образом, чтобы преобразование (5.1) было кононическим и унивалентным, необходимо и достаточно [16], чтобы матрица А была обобщенно-симплектической с валентностью , т. е. должно выполняться равенство

Далее, из условия -периодичности нормализующего преобразования (5.1):

получаем матричное уравнение для определения А

Матрица является диагональной формой матрицы матрицы А, приводящей к диагональной форме, столбец есть собственный вектор соответствующий мультипликатору Ее можно представить в виде где какое-либо решение уравнения (5.6), диагональная матрица порядка элементы которой подберем так, чтобы удовлетворить условию (5.5).

Кроме того, будем считать, что элементы матрицы вещественные числа и а собственные векторы комплексно сопряженные Это обеспечивает вещественность нормализующего преобразования.

Покажем, как найти матрицу Подставляя в равенство (5.5) и учитывая, что получаем

Теперь обозначим матрицу через Ее элементы вычисляются по формуле (2.9). Аналогично § 2 получаем, что матрица кососимметрическая.

Для дальнейшего анализа ее структуры докажем следующее утверждение: если произведение собственных чисел симплектичеекой матрицы X не равно единице, то соответствующие собственные векторы удовлетворяют равенству

Для доказательства сначала заметим, что по определению симметрической матрицы для любых векторов а и имеет место равенство

Далее, используя симплектичность матрицы X, получаем Подставив в последнее равенство получим

Но поэтому равенство (5.8) можно переписать так: I

и если то необходимо, чтобы скалярное произведение равнялось нулю.!

Таким образом, матрица записывается в виде (2.13), и элементы матрицы входящей в (2.13), вычисляются по формулам (2.14). Из равенства (5.7) получаем теперь уравнение для нахождения элементов матрицы

Последнее уравнение имеет действительное решение, если величина положительна, чего всегда можно добиться соответствующим выбором знака в функции Гамильтона (2.1). В самом деле, из уравнения ркек имеем систему уравнений относительно действительной тк и мнимой частей вектора

Система уравнений (5.10) не изменяется при одновременном изменении знака и знака компонент вектора тк. Знак же скалярного произведения (тк, изменяется на противоположный.

Таким образом, мы нашли матрицу Матрица нормализующего преобразования (5.1) имеет вид

После некоторых преобразований ее можно представить в виде произведения твех вещественных матриц

В последней формуле через обозначена постоянная матрица, у которой столбец есть вектор столбец — вектор Матрица имеет вид