§ 6. Об устойчивости неподвижных точек отображения в случае резонанса

В этом параграфе рассмотрим задачу об устойчивости неподвижных точек точечного отображения, задаваемого гамильтоновыми дифференциальными уравнениями. Будут рассмотрены случаи, когда величины связаны резонансными соотношениями третьего и четвертого порядков. Будут доказаны два утверждения о неустойчивости. Их доказательство основано на приведении точечного отображения в окрестности неподвижной точки (которую считаем совпадающей с началом координат) к нормальной форме с последующим применением теоремы § 2 о неустойчивости неподвижной точки отображения. По аналогичной схеме исследована устойчивость положений равновесия гамильтоновой системы с одной и двумя степенями свободы в работах автора [53, 55, 60] и автономной гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы в работе Хазина [92]. Теоремы о неустойчивости,

полученные ниже, применимы как к случаю автономной, так и к случаю неавтономной гамильтоновой системы и содержат в себе, как частные выводы, утверждения упомянутых работ [53, 55, 60, 92] о неустойчивости.

Рассмотрим сначала резонанс третьего порядка. Пусть в производящей функции (4.1) величины таковы, что для целых неотрицательных чисел сумма которых равна трем, число к будет целым, равным При этом считаем, что других резонансных соотношений третьего порядка нет. Предположим также, что уже проведена нормализация производящей функции до членов третьего порядка. Тогда, согласно § 4, производящую функцию отображения можно записать в виде

В (49) - величина порядка и некоторые числа, причем ясно, что можно считать

Теорема. Если то неподвижная точка неустойчива.

Для доказательства выпишем сначала точечное отображение в явном виде. Из (6.1) получаем

Прежде чем приводить строгое доказательство, проведем анализ приближенного отображения, оставив в (6.2) только главные члены по Такое укороченное отображение имеет, как легко проверить, инвариантные множества

Если точка лежит на поверхности (6.3), то и тоже будет лежать на этой поверхности для всех Возьмем начальную точку такой, чтобы она принадлежала пересечению поверхностей

Тогда для укороченного отображения получим

Здесь Отметим, что мы считаем что величина входит в резонансное соотношение. Это, разумеется, не ограничивает общности рассмотрения.

Из (6.5) видно, что если то после -кратного применения отображения получим

а величина неограниченно возрастает.

После этого предварительного анализа уже несложно провести строгое доказательство теоремы. Для доказательства неустойчивости построим функцию V, удовлетворяющую условиям теоремы § 2 о неустойчивости. И будем ее строить так, чтобы область была узкой областью, содержащей внутри себя пересечение поверхностей (6.4). Именно такая идея построения функции Четаева V была использована в работах автора [53, 55, 60], а затем Хазиным в работе [92].

Функцию V возьмем в виде

За область берем область

Получим теперь разность Для этого надо выразить через согласно формулам отображения (6.2), причем для упрощения выкладок это следует делать сразу для области

В области отображение (6.2) дает соотношения (6.5). Только в первом из этих равенств надо добавить величину порядка а во втором — порядка Поэтому в области получаем такие оценки:

Здесь введено обозначение

Теперь для разности в области получаем такое выражение:

Величина, стоящая в фигурных скобках выражения (6.7), в области будет больше единицы. Поэтому при достаточно малых в области разность положительна. Следовательно, неподвижная точка неустойчива.

Рассмотрим теперь резонанс четвертого порядка. Пусть удовлетворяют резонансному соотношению к для целых сумма которых равна четырем. И пусть нет других резонансов третьего и четвертого порядков.

Производящая функция нормализованного до членов четвертого порядка по отображения имеет вид

Здесь

величины некоторые числа.

Явный вид отображения такой:

Теорема. Если выполняется неравенство

то неподвижная точка точечного отображения (6.8) неустойчива.

Для доказательства функцию V и область берем такими же, как и при резонансе третьего порядка. В области получаем такие оценки:

Используя эти оценки, получаем в области такое выражение для разности

Четвертое слагаемое в квадратных скобках неотрицательно в области Сумма же первых трех слагаемых строго положительна, если выполняется условие (6.9). В самом деле, эту сумму можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно Дискриминант трехчлена

и отрицателен, если справедливо неравенство (6.9).

Следовательно, в области разность положительна и, согласно § 2, неподвижная точка неустойчива.