ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 1. Постановка задачи
Рассмотрим автономную каноническую систему дифференциальных уравнений
Пусть начало координат является положением равновесия системы и гамильтониан И есть аналитическая функция обобщенных координат и импульсов 
разлагающаяся в ряд
где 
однородная функция степени 
относительно 
Если 
знакоопределенная функция, то, согласно теореме Ляпунова, положение равновесия устойчиво (для применения теоремы Ляпунова об устойчивости в качестве функции Ляпунова
V можно взять в этом случае функцию Гамильтона 
. Пусть, однако, 
не является знакоопределенной квадратичной формой, но система (1.1) устойчива в первом (линейном) приближении. Тогда при некоторых ограничениях на частоты 
линейной системы и на коэффициенты форм 
вопрос об устойчивости можно решить при помощи следующей теоремы Арнольда — Мозера [2, 3, 72].
Теорема. Если функция Гамильтона (1.2) такова, что
1) характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет чисто мнимые корни 
где 
целые числа, удовлетворяющие условию 
то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.
В формулировке теоремы предполагается, что функция Гамильтона (1.2) записана в виде
Выбор координат и импульсов 
в которых гамильтониан (1.2) представляется в виде (1.5), осуществляется при помощи преобразования Биркгофа, которое в нашем случае возможно при выполнении условия (1.3). Коэффициенты 
являются инвариантами функции Гамильтона (1.2) относительно канонических преобразований.
Предположим поэтому, что 
Тогда условие (1.3) не выполняется при 
. Исследование устойчивости в этих трех резонансных случаях проведено в § 2—4. Устойчивость при невыполнении условия (1.4) рассмотрена в § 5.
