§ 8. Обсуждение полученных результатов

Здесь кратко сформулируем и обсудим результаты аналитического и численного исследований устойчивости треугольных точек либрации, проведенных в настоящей главе.

Область устойчивости в первом приближении изображена на рис. 12. Мы провели подробное исследование устойчивости для значений параметров лежащих внутри области устойчивости в первом приближении.

На рис. 14 построены кривые, соответствующие резонансам третьего и четвертого порядков или 4). На тех резонансных кривых, для которых целые числа имеют разные знаки, точки либрации устойчивы при учете в разложении функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения; если же на таких кривых не выполняются другие резонансные соотношения более высокого порядка (выше четвертого), то имеет место формальная устойчивость. На кривых резонансов третьего порядка с одинаковыми знаками чисел точки либрации оказались неустойчивыми по Ляпунову. На аналогичных кривых, соответствующих резонансам четвертого порядка, точки либрации либо неустойчивы по Ляпунову, либо устойчивы при учете в разложении гамильтониана членов до четвертого порядка включительно. Интервалы устойчивости и неустойчивости при резонансах четвертого порядка приведены в табл. 7. Устойчивость в случае кратных резонансов (соответствующих пересечению кривых резонансов третьего и четвертого порядков) не исследовалась.

Для значений параметров при которых не выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков, показана устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. При этом, кроме резонансных кривых третьего и четвертого порядков, пришлось исключить из рассмотрения кривые, на которых между коэффициентами нормальной формы выполнено соотношение Эти кривые изображены на рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Для значений параметров при которых нет резонансов третьего и четвертого порядков, было проведено исследование формальной устойчивости. На рис. 18 и 19 области формальной устойчивости отмечены штриховкой.

А каков ответ (кроме устойчивости по мере) на вопрос об устойчивости для значений параметров которые лежат в незаштрихованной части плоскости на рис. 18 и 19 и при которых нет резонансов третьего и четвертого порядков? При достаточно малых и значениях не принадлежащих резонансным кривым пятого и шестого порядков (в табл. 5 и 6 приведены соответствующие порождающие точки при а также при быть может, значениям из интервала соответствующим двукратным резонансам выше шестого порядка, в настоящей главе мы показали формальную устойчивость точек либрации. А какова ситуация при значениях не являющихся малыми и лежащих в незапггрихованных областях рис. 18 и 19?

Можно было бы в принципе провести нормализацию функции Гамильтона до членов шестого порядка включительно и показать,

что в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 (вне кривых, соответствующих резонансам до шестого порядка включительно, и вне некоторого числа кривых, на которых система уравнений (6.5) имеет нетривиальное решение при и вне, быть может, тех точек в которых выполнены условия существования двукратных резонансов выше шестого порядка) имеет место формальная устойчивость. Но нормализация гамильтониана до членов шестого порядка в нашей задаче связана с чрезвычайно громоздкими вычислениями. Поэтому, исходя из того, что в «общем случае» результат исследования будет именно таким, как только что было сказано выше, мы и не проводили численного исследования при учете членов до шестого порядка в разложении функции Гамильтона.

В заключение выскажем еще некоторые соображения об устойчивости точек либрации для значений параметров лежащих в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 и принадлежащих кривым резонансов пятого и шестого порядков. Предположим, что резонансы однократные, т. е. выполняется только одно резонансное соотношение к при или 6 и нет резонансных соотношений более высокого порядка. В «общем случае» такое предположение справедливо. Множество точек кратных резонансов имеет нулевую меру.

При резонансе пятого порядка функция Гамильтона в нормальной форме имеет вид

А при резонансе шестого порядка нормальная форма будет такой:

Если в резонансном соотношении целые числа имеют разные знаки, то, согласно Мозеру [157], имеет место формальная устойчивость. Если же имеют одинаковые знаки, то возможна неустойчивость, но для этого необходимо, чтобы величина равнялась нулю. В противном случае по теореме Брюно (см. главу 5) имеет место формальная устойчивость.

Число всех резонансных кривых пятого и шестого порядков равняется тридцати четырем: шестнадцать резонансных кривых пятого и восемнадцать — шестого порядков. Двадцати четырем

из них соответствуют резонансные соотношения с одинаковыми знаками двенадцать резонансных соотношений пятого и двенадцать — шестого порядков.

Значения величины на всех резонансных кривых пятого и шестого порядков (с одинаковыми знаками у чисел были вычислены на ЭВМ. При расчтах мы ограничились значениями Значения параметров при которых велиина обращается в нуль, представлены табл. 8. В ней же выписаны соответствующие резонансные соотношения.

Таблица 8

Для первых четырех пар резонансных значений табл. 8 в «общем случае» будет иметь место неустойчивость по Ляпунову, так как при резонансе пятого порядка условие неустойчивости в «общем случае» выполнено.

Для остальных шести пар резонансных значений в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы функции Гамильтона, возможна как неустойчивость по Ляпунову, так и устойчивость в конечном порядке.