§ 5. Исследование устойчивости при ...

Исследуем теперь устойчивость положения равновесия системы когда не выполняется условие (1.4) теоремы Арнольда — Мозера. Сначала рассмотрим пример (см. [57]), показывающий, что при невыполнении этого условия устойчивость положения новесия может быть разрушена членами сколь угодно высокого порядка в разложении функции Гамильтона (1.2).

Пусть функция Гамильтона имеет вид

где натуральные, а и произвольные действительные числа.

Легко проверить, что для функции Гамильтона (5.1) условие (1.4) не выполнено, а система дифференциальных уравнений, соответствующая (5.1), имеет такое частное решение:

где Это частное решение показывает, что положение равновесия неустойчиво, так как для сколь угодно малых значений величины неограниченно возрастают при

Приведенный пример показывает, что исследование устойчивости при надо проводить особо.

Если при целых удовлетворяющих условию то при помощи аналитического преобразования Биркгофа гамильтониан (1.2) можно привести к виду

Здесь имеет период по угловым переменным,

Рассмотрим многочлен

Если то говорят, что имеет место общий эллиптический случай. В условиях теоремы Арнольда — Мозера неравенство обнаруживается по коэффициенту при в многочлене (5.3). Если же этот коэффициент равен нулю, т. е. условие (1.4) не выполняется, то в многочлене (5.3) надо получать коэффициенты при более высоких степенях При этом на надо накладывать более жесткие требования отсутствия резонанса, нежели требование (1.3).

Пусть первый, отличный от нуля, коэффициент многочлена (5.3) обнаруживается при Тогда справедлива следующая теорема [56].

Теорема. Если функция Гамильтона (1.2) такова, что

1) характеристическое уравнение системы с гамильтонианом имеет чисто мнимые корни

то положение равновесия устойчиво.

Сформулированная теорема является простым обобщением теоремы Арнольда — Мозера на случай, когда исследование в гамильтониане (1.2) форм не выше четвертого порядка не может привести к строгим выводам об устойчивости положения равновесия системы (1.1).

Доказательство этой теоремы можно провести совершенно так же, как это сделано Мозером [5] при доказательстве аналогичной теоремы при Укажем основные моменты доказательства. Подробности изложены в [57]. Сначала надо привести функцию Гамильтона (1.2) к виду (5.2) и, используя интеграл свести систему (1.1) к системе с одной степенью свободы. Применяя затем теорему Мозера об инвариантных кривых к отображению, порождаемому полученной гамильтоновой системой дифференциальных уравнений второго порядка, можно показать, что при выполнении условия (5.5) на каждом уровне в любой достаточно малой окрестности начала координат существуют инвариантные торы системы (1.1). Отсюда следует устойчивость положения равновесия.