§ 3. Схема исследования устойчивости
Ясно, что по отношению к возмущениям координат и импульсов, соответствующих периодическим движениям, эти движения будут неустойчивы по Ляпунову, так как их период зависит от начальных условий (величина 
в выражении для периода (2.4) зависит от начальных условий). Однако представляет интерес задача об орбитальной устойчивости.
При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмущенного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам.
В нашей задаче схематически конструктивное применение локального метода можно представить в виде последовательности следующих операций:
1) получение исследуемого периодического движения в переменных действие — угол;
2) введение в окрестности периодического движения локальных координат и получение функции Гамильтона возмущенного движения;
3) переход к новой независимой переменной «угол», линейная нормализация и получение выводов об устойчивости в линейном приближении;
4) возвращение к старой независимой переменной и проведение нелинейной нормализации функции Гамильтона;
5) на основании свойств коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона получение выводов об орбитальной устойчивости периодического движения.
